【做题记录】雅礼集训2018 方阵

• 【雅礼集训 $2018$】方阵

  • 算法：斯特林反演

题目：

给定 $n\times m$ 的矩阵，每个格子填上 $[1,c]$ 的数字，求任意两行、两列均不同的方案数。

$n,m\le 5000$

题解：

设 $g(m)$ 表示 $n\times m$ 的矩阵中任意两行不相同的方案个数。

从第一行往下推，第一行显然有 $c^m$ 种（$[1,c]$ 中每个都能选），而第二行则在 $c^m$ 的基础上减去 $1$ 种，（即第一行的方案），之后的类比。

第 $i$ 行	对于 $g(m)$ 当前行的方案数
第一行的方案数	$c^m$
第二行的方案数	$c^{m}-1$
$\dots$	$\dots$
第 $n$ 行的方案数	$c^{m}-n+1$

不难看出 $g(m)=c^m\times (c^m-1)\times \dots \times (c^m-n+1)$，

即 $g(m)={(c^m)}^{\underline{n}}$。

设 $f(m)$ 表示 $n\times m$ 的矩阵任意两行两列都不相同。

不妨从 $g(m)$ 中枚举有多少个本质不同的列，设有 $i$ 个。

对于 $g(m)$，其方案数又可以由 $f(i)$ 表示为

$$g(m)=\sum\limits_{i=1}^{m}f(i) \begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}$$

简单解释，就是 $g(m)$ 相当于对于 $n\times i$ 的 $f(i)$ 之和，因为 $g$ 不需要保证列不相同，所以大力枚举能每种 $f$，然后对于每一种 $f(i)$，都要相当于从 $m$ 列中挑选出 $i$ 列使它们互不相同，那么也就是 $\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}$。

但是我们是要求出 $f(m)$，而且对于 $g(i)$ 我们有更为简单的方式（$g(m)={(c^m)}^{\underline{n}}$），所以我们考虑通过 $g$ 来求出 $f$。

那么可以用斯特林反演。

套用模板，得

$$f(m)=\sum\limits_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\begin{bmatrix}m\\i\end{bmatrix}g(i)$$

就可以求出 $f$。

总的时间复杂度为 $O(n^2)$