【做题记录】雅礼集训2018 方阵

• 【雅礼集训 \(2018\)】方阵

  • 算法：斯特林反演

题目：

给定 \(n\times m\) 的矩阵，每个格子填上 \([1,c]\) 的数字，求任意两行、两列均不同的方案数。

\(n,m\le 5000\)

题解：

设 \(g(m)\) 表示 \(n\times m\) 的矩阵中任意两行不相同的方案个数。

从第一行往下推，第一行显然有 \(c^m\) 种（\([1,c]\) 中每个都能选），而第二行则在 \(c^m\) 的基础上减去 \(1\) 种，（即第一行的方案），之后的类比。

第 \(i\) 行	对于 \(g(m)\) 当前行的方案数
第一行的方案数	\(c^m\)
第二行的方案数	\(c^{m}-1\)
\(\dots\)	\(\dots\)
第 \(n\) 行的方案数	\(c^{m}-n+1\)

不难看出 \(g(m)=c^m\times (c^m-1)\times \dots \times (c^m-n+1)\)，

即 \(g(m)={(c^m)}^{\underline{n}}\)。

设 \(f(m)\) 表示 \(n\times m\) 的矩阵任意两行两列都不相同。

不妨从 \(g(m)\) 中枚举有多少个本质不同的列，设有 \(i\) 个。

对于 \(g(m)\)，其方案数又可以由 \(f(i)\) 表示为

\[g(m)=\sum\limits_{i=1}^{m}f(i) \begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix} \]

简单解释，就是 \(g(m)\) 相当于对于 \(n\times i\) 的 \(f(i)\) 之和，因为 \(g\) 不需要保证列不相同，所以大力枚举能每种 \(f\)，然后对于每一种 \(f(i)\)，都要相当于从 \(m\) 列中挑选出 \(i\) 列使它们互不相同，那么也就是 \(\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}\)。

但是我们是要求出 \(f(m)\)，而且对于 \(g(i)\) 我们有更为简单的方式（\(g(m)={(c^m)}^{\underline{n}}\)），所以我们考虑通过 \(g\) 来求出 \(f\)。

那么可以用斯特林反演。

套用模板，得

\[f(m)=\sum\limits_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\begin{bmatrix}m\\i\end{bmatrix}g(i) \]

就可以求出 \(f\)。

总的时间复杂度为 \(O(n^2)\)