【做题记录】ARC096E Everything on It

• $\text{[ARC096E]\ Everything\ on\ It}$

  • 算法：容斥、组合

题目：

对于集合 $\{1,2,\dots,n\}$，求它的子集族中，有多少个满足：

1. 任意两个子集互不相同；

2. $1,2,\dots,n$ 都在其中至少出现了 $2$ 次。

答案对 $M$ 取模。

$2\le n\le 3000,10^8\le M\le10^9+9,M\in \text{prime}$

题解：

采用容斥。

钦定 $i$ 个数出现 $\le1$ 次，不妨设为 $1\to i$

分两类。

1. 不含 $1\to i$

很简单，即 $n-i$ 个数字没有第二种限制，随便放，故有 $2^{n-i}$ 中子集，加上每个子集要么选要么不选，所以共 $2^{2^{n-i}}$ 种。

2. 含有 $1\to i$ 至少一次

枚举 $k$ 表示其个数，

将 $i$ 个数分入 $k$ 个集合，但这和斯特林数不太一样，因为有的数可以不分，所以相当于是将那些出现 $1$ 次的分到 $k$ 个集合中去。

对于每个集合，只需满足至少出现一次的 $1\to i$ ，其余 $\ge i$ 的可有可无。

所以就是 $i$ 个数分入 $k$ 个集合的方案数，就是 ${(2^{n-i})}^k$（因为有 $k$ 个集合）

但题中 $i$ 个数不一定要全放完，这难以处理，所以我们直接强行让它放完，那么我们可以在 $k$ 个集合后面在新建一个集合（垃圾堆），这里面把那些没选的数往里面丢。

但这样有两个问题。一是我放完后无法分辨哪个是新增的垃圾堆哪个是原来的 $k$ 个集合。二是我有可能放完 $k$ 个集合后没有东西可往垃圾堆里丢了。

此时我们可以考虑分类。

第一种就是此时没有剩余可以丢进垃圾堆了，所以就只是单纯地 $i$ 个数分入 $k$ 个集合，即 $\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix}$ 种。

第二种就是还有可以往垃圾堆丢的，那么此时的垃圾堆其实可以看成也是一个普通的堆，那么就是 $i$ 个数往 $k$ 个集合里放，一共有 $\begin{Bmatrix}i\\k+1\end{Bmatrix}$ 种。然后因为我们将垃圾堆看成普通的堆，所以我么还要从 $k+1$ 个堆中选一个当垃圾堆，故还要再乘上 $k+1$。

所以总方案就是 $\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix}+(k+1)\begin{Bmatrix}i\\k+1\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}i+1\\k+1\end{Bmatrix}$

我们不妨假设 $S(i)$ 表示 $1\to i$ 没有出现。

所以答案就是先枚举 $i$，然后乘上 $F(i)$ 即组合数即可。

即

$$Ans=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}S(i)$$

而 $S(i)$ 即为第一种情况乘上第二种情况，

$$S(i)=[\sum\limits_{k=0}^i \begin{Bmatrix}i+1\\k+1\end{Bmatrix}2^{(n-i)k}][2^{2^{n-i}}]$$

总的时间复杂度 $O(n^2)$。