【做题记录】ZROI 树上游走

• 树上游走

  • 算法：组合数学、斯特林反演、$\text{FFT}$

题目：

给定 $n$ 个节点的树，从某个点出发开始随机游走：在点 $u$ 时，有 $p_u$ 的概率停留在原地，否则等概率地向相邻的点移动，直到移动到 $1$ 号点停下。

求从每个点出发至停下，所花费的时间的 $k$ 次方的期望。

$n\le 10^5,k\le 10^5,nk\le 10^6$

题解：

不妨假设当前点 $u$ 到根节点的时间为 $C_u$。

那么概期望即为 $E(C_u^k)$，显然无法求。

根据下降幂的定理，

$\large n^m=\sum\limits_{i=0}^{m}\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}n^{\underline{i}}$

得

$\begin{aligned} E(C_u) & = E(\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}C_u^{\underline{i}}) \\ & = \sum\limits_{i=0}^{k}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!E(\begin{pmatrix}C_u\\i\end{pmatrix})\end{aligned}$

设 $u$ 的度数为 $d_u$，则对于 $\begin{pmatrix}C_u\\i\end{pmatrix}$ 有两种情况：

1. 有 $P_u$ 的概率留在原地，即 $\begin{pmatrix}C_u\\i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}C_u+1\\i\end{pmatrix}$
2. 有 $\dfrac{1-P_u}{d_u}$ 的概率往相邻的点移动，设移动到 $v$，则 $\begin{pmatrix}C_u\\i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}C_v+1\\i\end{pmatrix}$

$$\therefore E(\begin{pmatrix}C_u\\i\end{pmatrix})=P_uE(\begin{pmatrix}C_u+1\\i\end{pmatrix})+\dfrac{1-P_u}{d_u}\sum\limits_{v\in adj(u)}E(\begin{pmatrix}C_v+1\\i\end{pmatrix})$$

又 $\because \begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n-1\\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-1\\m-1\end{pmatrix}$

$$\therefore E(\begin{pmatrix}C_u+1\\i\end{pmatrix})=P_uE(\begin{pmatrix}C_u\\i\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}C_u\\i-1\end{pmatrix})+\dfrac{1-P_u}{d_u}\sum\limits_{v\in adj(u)}E(\begin{pmatrix}C_v\\i\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}C_v\\i-1\end{pmatrix})$$

设 $f_u=E(\begin{pmatrix}C_u\\i\end{pmatrix}),a_u=E(\begin{pmatrix}C_u\\i-1\end{pmatrix})$

$$\therefore f_u=P_u(f_u+a_u)+\dfrac{1-P_u}{d_u}\sum\limits_{v\in adj(u)}(f_v+a_v)$$

只有 $f$ 为未知

等式两边同时除以 $\dfrac{1-P_u}{d_u}$，得

$$\therefore \dfrac{d_u}{1-P_u}f_u=\dfrac{d_u}{1-P_u}P_u(f_u+a_u)+\sum\limits_{v\in adj(u)}(f_v+a_v)$$

$$\therefore \dfrac{d_u(1-P_u)}{1-P_u}f_u=\dfrac{d_uP_u}{1-P_u}a_u+\sum\limits_{v\in adj(u)}(f_v+a_v)$$

这时候我们不妨理性理解一波，

对于 $f$，其转移必定由它的父亲转移来，而转移中又必定带一个常数，所以不妨硬猜结论为：

$f_u=f_{fa(u)}+T_u$（常数为 $T$）

$$\therefore d_uf_u=\dfrac{d_uP_u}{1-P_u}a_u+\sum\limits_{v\in son(u)}(f_u+t_v+a_v)+f_{fa}+a_{fa}$$

又 $\because \sum\limits_{v\in son(u)}\times f_u=(d_u-1)f_{u}$

$$\therefore f_u=\dfrac{d_uP_u}{1-P_u}a_u+\sum\limits_{v\in son(u)}(t_v+a_v)+f_{fa}+a_{fa}$$

又由定义知 $t_u=f_u-f_{fa}$

$\therefore t_u=\dfrac{d_uP_u}{1-P_u}a_u+\sum\limits_{v\in son(u)}(t_v+a_v)+a_{fa}$

然后 $\text{dp}$ 即可。时间复杂度 $O(nk)$。

继续，回归答案，

$$E(C_u) =\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!E(\begin{pmatrix}C_u\\i\end{pmatrix})$$

又 $\because \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!=\sum\limits_{j=0}^{i}j^n \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix}(-1)^{i-j}$

$$\therefore \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!=\sum\limits_{j=0}^{i}\dfrac{j^n}{j!}\dfrac{(-1)^{i-j}}{(i-j)!}$$

观察一下右边的两个分式的分母，显然的卷积，用 $\text{FFT}$ 乱搞一下即可。时间复杂度 $O(k\log k)$（$\text{FFT}$）。

总的时间复杂度 $O(nk+k\log k)$。