力扣-376. 摆动序列
1.题目介绍
题目地址(376. 摆动序列 - 力扣（LeetCode）)
https://leetcode.cn/problems/wiggle-subsequence/
题目描述
如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为 摆动序列 。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。
-
例如，
[1, 7, 4, 9, 2, 5]是一个 摆动序列 ，因为差值(6, -3, 5, -7, 3)是正负交替出现的。 - 相反，
[1, 4, 7, 2, 5]和[1, 7, 4, 5, 5]不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。
子序列 可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。
给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中作为 摆动序列 的 最长子序列的长度 。
示例 1：
输入：nums = [1,7,4,9,2,5] 输出：6 解释：整个序列均为摆动序列，各元素之间的差值为 (6, -3, 5, -7, 3) 。
示例 2：
输入：nums = [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8] 输出：7 解释：这个序列包含几个长度为 7 摆动序列。 其中一个是 [1, 17, 10, 13, 10, 16, 8] ，各元素之间的差值为 (16, -7, 3, -3, 6, -8) 。
示例 3：
输入：nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9] 输出：2
提示：
1 <= nums.length <= 10000 <= nums[i] <= 1000
进阶：你能否用 O(n) 时间复杂度完成此题?
2.题解
2.1 动态规划
思路
这里我们使用动态规划，主要明白子序列可能所处的几种状态，和它的状态转移方程：
1.上升序列up[i], 表示取范围在[0,i]的上升子序列的最大元素个数
2.下降序列down[i],表示取范围在[0,i]的下降子序列的最大元素个数
状态转移方程：
我们先来讨论上升序列情况，由于当前元素nums[i]和nums[i-1]的大小关系，会影响到序列子元素的选择，所以我们分情况来讨论:
1.nums[i] > nums[i-1]
这个时候，up[i]可以由up[i-1]或者down[i-1]转化而来
1)如果对于up[i-1], 由于up[i]最后一个元素可以选择nums[i-1],也可以选择nums[i],但二者不能同时选择，其实是平替关系
即 up[i] = up[i-1];
2)如果对于down[i-1],由于down[i-1]最后一个元素可能不是nums[i-1],而是nums[j],
且存在nums[j] > nums[i]的情况下，所以我们需要讨论一下是否能找出一种匹配情况？
其实很简单，down[i-1]最后一个元素不是nums[i-1],且nums[j] > nums[i] > nums[i-1]
那么我将
最终结果是：
\(\begin{aligned}&up[i]=\begin{cases}up[i-1],&nums[i]\leq nums[i-1]\\\max(up[i-1],down[i-1]+1),&nums[i]>nums[i-1]\end{cases}\\&down[i]=\begin{cases}down[i-1],&nums[i]\geq nums[i-1]\\\max(up[i-1]+1,down[i-1]),&nums[i]<nums[i-1]\end{cases}\end{aligned}\)
代码
- 语言支持：C++
C++ Code:
class Solution {
public:
int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
if(n < 2) return n;
vector<int> up(n), down(n);
up[0] = 1; down[0] = 1;
for(int i = 1; i < n; i++){
if(nums[i] > nums[i-1]){
up[i] = max(up[i-1], down[i-1] + 1);
down[i] = down[i-1];
}else if(nums[i] < nums[i-1]){
up[i] = up[i-1];
down[i] = max(up[i-1] + 1, down[i-1]);
}else{
up[i] = up[i - 1];
down[i] = down[i-1];
}
}
return max(up[n-1], down[n-1]);
}
};
复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度：\(O(n)\)
- 空间复杂度：\(O(n)\)
