蓝桥杯-防御力

1.题目描述

小明最近在玩一款游戏。对游戏中的防御力很感兴趣。
我们认为直接影响防御的参数为“防御性能”，记作d，而面板上有两个防御值A和B，与d成对数关系，A=2^d，B=3dA=2 注意任何时候上式都成立）。
在游戏过程中，可能有一些道具把防御值A增加一个值，有另一些道具把防御值B增加一个值。现在小明身上有n1个道具增加A的值和n2个道具增加B的值，增加量已知。
现在已知第i次使用的道具是增加A还是增加B的值，但具体使用那个道具是不确定的，请找到一个字典序最小的使用道具的方式，使得最终的防御性能最大。
初始时防御性能为0，即d=0，所以A=B=1。

输入

输入的第一行包含两个数n1,n2，空格分隔。
第二行n1个数，表示增加A值的那些道具的增加量。
第三行n2个数，表示增加B值的那些道具的增加量。
第四行一个长度为n1+n2的字符串，由0和1组成，表示道具的使用顺序。0表示使用增加A值的道具，1表示使用增加B值的道具。输入数据保证恰好有n1个0，n2个1。

输出

对于每组数据，输出n1+n2+1行，前n1+n2行按顺序输出道具的使用情况，若使用增加A值的道具，输出Ax，x为道具在该类道具中的编号（从1开始）。若使用增加B值的道具则输出Bx。最后一行输出一个大写字母E。

样例输入

1 2
4
2 8
101

样例输出

B2
A1
B1
E

2.题解

2.1 贪心算法

思路

这里的贪心证明使用数学证明并不好证，但我们可以先确定可能的贪心策略，并带入具体数据进行测试，选出最优解（做题技巧）
一共有四种贪心策略：
1.A道具效果从小到大使用，B道具效果从小到大使用
2.A道具效果从小到大使用，B道具效果从大到小使用
3.A道具效果从大到小使用，B道具效果从大到小使用
4.A道具效果从大到小使用，B道具效果从小到大使用

检测：

好的，为了证明策略2（即 A 道具效果从小到大使用，B 道具效果从大到小使用）是最优的，让我们选择一个具体的例子，并进行详细计算和比较。

示例

假设输入数据如下：

• ( n1 = 2 ), ( n2 = 2 )
• 增加 ( A ) 值的道具增加量：[4, 6]
• 增加 ( B ) 值的道具增加量：[8, 3]
• 使用顺序：[0, 1, 0, 1]

四种贪心策略：

策略1：A 道具效果从小到大使用，B 道具效果从小到大使用

• A 道具：[4, 6]
• B 道具：[3, 8]

使用顺序：[0, 1, 0, 1]

1. 使用 A 道具4：
   • ( $A=1+4=5$)
   • ( $d={\log }_2(5)\approx 2.322$ )
   • ( $B=3^{2.322}\approx 10.6$ )
2. 使用 B 道具3：
   • ( $B = 10.6 + 3 = 13.6 )
   • ( $d={\log }_3(13.6)\approx 2.311$)
   • ( $A=2^{2.311}\approx 4.92$ )
3. 使用 A 道具6：
   • ( $A = 4.92 + 6 = 10.92 )
   • ( $d={\log }_2(10.92)\approx 3.457$ )
   • ( $B=3^{3.457}\approx 40.95$ )
4. 使用 B 道具8：
   • ( $B=40.95+8=48.95$)
   • ( $d={\log }_3(48.95)\approx 3.663$)
   • ( $A=2^{3.663}\approx 12.9$)

最终防御性能 ( $d\approx 3.663$)。

策略2：A 道具效果从小到大使用，B 道具效果从大到小使用

• A 道具：[4, 6]
• B 道具：[8, 3]

使用顺序：[0, 1, 0, 1]

1. 使用 A 道具4：
   • ( $A=1+4=5$)
   • ( $d={\log }_2(5)\approx 2.322$ )
   • ( $B=3^{2.322}\approx 10.6$ )
2. 使用 B 道具8：
   • ( $B=10.6+8=18.6$)
   • ( $d={\log }_3(18.6)\approx 2.715$ )
   • ( $A=2^{2.715}\approx 6.55$ )
3. 使用 A 道具6：
   • ( $A=6.55+6=12.55$ )
   • ( $d={\log }_2(12.55)\approx 3.647$ )
   • ( $B=3^{3.647}\approx 53.1$ )
4. 使用 B 道具3：
   • ( $B=53.1+3=56.1$)
   • ( $d={\log }_3(56.1)\approx 3.828$ )
   • ( $A=2^{3.828}\approx 14.5$ )

最终防御性能 ( $d\approx 3.828$)。

策略3：A 道具效果从大到小使用，B 道具效果从大到小使用

• A 道具：[6, 4]
• B 道具：[8, 3]

使用顺序：[0, 1, 0, 1]

1. 使用 A 道具6：
   • ( $A=1+6=7$ )
   • ( $d={\log }_2(7)\approx 2.807$ )
   • ( $B=3^{2.807}\approx 18.5$ )
2. 使用 B 道具8：
   • ( $B=18.5+8=26.5$ )
   • ( $$d = \log_3(26.5) \approx 3.008$ )
   • ( $A=2^{3.008}\approx 8.03$ )
3. 使用 A 道具4：
   • ( $A=8.03+4=12.03$ )
   • ( $d={\log }_2(12.03)\approx 3.584$ )
   • ( $B=3^{3.584}\approx 49.9$ )
4. 使用 B 道具3：
   • ( $B=49.9+3=52.9$ )
   • ( $d={\log }_3(52.9)\approx 3.775$ )
   • ( $A=2^{3.775}\approx 13.9$ )

最终防御性能 ( $d\approx 3.775$ )。

策略4：A 道具效果从大到小使用， B 道具效果从小到大使用

• A 道具：[6, 4]
• B 道具：[3, 8]

使用顺序：[0, 1, 0, 1]

1. 使用 A 道具6：
   • ( $A=1+6=7$)
   • ( $d={\log }_2(7)\approx 2.807$ )
   • ( $B=3^{2.807}\approx 18.5$ )
2. 使用 B 道具3：
   • ( $B=18.5+3=21.5$ )$
   • ( $d={\log }_3(21.5)\approx 2.924$ )
   • ( $A=2^{2.924}\approx 7.56$ )
3. 使用 A 道具4：
   • ( $A=7.56+4=11.56$ )
   • ( $d={\log }_2(11.56)\approx 3.529$ )
   • ( $B=3^{3.529}\approx 47.9$ )
4. 使用 B 道具8：
   • ( $B=47.9+8=55.9$ )
   • ( $d={\log }_3(55.9)\approx 3.825$ )
   • ( $A=2^{3.825}\approx 14.48$ )

最终防御性能 ( d \approx 3.825 )。

结论

通过比较不同策略的最终防御性能 (d)：

• 策略1：( $d\approx 3.663$ )
• 策略2：( $d\approx 3.828$)
• 策略3：( $d\approx 3.775$ )
• 策略4：( $d\approx 3.825$ )

可以看出，策略2（A道具效果从小到大使用，B道具效果从大到小使用）得到了最高的最终防御性能 ( $d\approx 3.828$ )。

因此，策略2在这个例子中确实是最优的。

然后我们很容易发现使用第2种策略是最优的，大概数学证明如下：

我们可以发现A和B增大同样的大小，$d=lo{g}_2(A),d=lo{g}_3(B)$, A对于d的影响更大，提升速度更快，由于增大量x是固定的，但是每次对d的影响实际上取决于 x/A, 我们希望每次增量都使这种提升最大，充分利用每一次增量，就要求每次使用这个x之前，之前积累的和A越小越好，也就是A增量从小到大，但同时B的增大也会通过影响d反过来影响A的增大，我们希望尽量减小A的增大，也就是令x/B越小越好，让B从大到小即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool compare1(pair<int,int> p1, pair<int, int> p2){
	if(p1.second != p2.second)
		return p1.second < p2.second;
	return p1.first <= p2.first;
}

bool compare2(pair<int,int> p1, pair<int, int> p2){
	if(p1.second != p2.second)
		return p1.second > p2.second;
	return p1.first <= p2.first;
}
int main(){
	int n1, n2;
	cin >> n1 >> n2;
	
	vector<pair<int,int>> items1(n1), items2(n2);
	for(int i = 0; i < n1; i++){
		items1[i].first = i + 1;
		cin >> items1[i].second;
	}
	for(int i = 0; i < n2; i++){
		items2[i].first = i + 1;
		cin >> items2[i].second;
	}
	string op;
	cin >> op;
	
	sort(items1.begin(), items1.end(),compare1);
	sort(items2.begin(), items2.end(), compare2);
	int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
	for(char ch : op){
		if(ch == '0'){
			printf("A%d\n",items1[cnt1++].first);
		} else{
			printf("B%d\n",items2[cnt2++].first);
		}
	}
	printf("E");
	return 0;
}