力扣-258. 各位相加

1.题目

题目地址(258. 各位相加 - 力扣（LeetCode）)

https://leetcode.cn/problems/add-digits/?envType=study-plan-v2&envId=primers-list

题目描述

给定一个非负整数 num，反复将各个位上的数字相加，直到结果为一位数。返回这个结果。

 

示例 1:

38
2

示例 2:

输入: num = 0
输出: 0

 

提示：

• 0 <= num <= 231 - 1

 

进阶：你可以不使用循环或者递归，在 O(1) 时间复杂度内解决这个问题吗？

2. 题解

这道题的本质是计算自然数num的数根。
数根又称数字根(Digital root),是自然数的一种性质，每个自然数都有一个数根。对
于给定的目然数，反复将各个位上的数字相加，直到结果为一位数，则该一位数即为原自然数的数根。
计算数根的最直观的方法是模拟计算各位相加的过程，直到剩下的数字是一位数。利用自然数的性质，则能在$O(1)$的时间内计算数根。

2.1 模拟

思路

就是拆分,求和,再拆分,再求和; 直到只剩下个位数

代码

• 语言支持：C++

C++ Code:

class Solution {
public:
    int addDigits(int num) {
        while(num >= 10){
            int sum = 0;
            while(num > 0){
                sum += num % 10;
                num /= 10;
            }
            num = sum;
        }
        return num;
    }
};

复杂度分析

令 n 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(lognum)$
• 空间复杂度：$O(1)$

2.2 数学方法(拆分-补缺)

思路

假设整数num的十进制表示有$n$位，从最低位到最高位依次是$a_0$到$a_{n-1}$
则 num 可以写成如下形式(每一位都分出来个1, 用于构成树根):

$\begin{array}{rl}num& =\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\times {10}^i\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\times ({10}^i-1+1)\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\times ({10}^i-1)+\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\end{array}$

当$i=0$时，${10}^i-1=0$是 9 的倍数；
当$i$是正整数时，${10}^i-1$是由$i$位9 组成的整数，也是 9 的倍数。
因此对于任意非负整数$i,{10}^i-1$都是 9 的倍数。由此可得num与其各位相加的结果模 9 同余。
重复计算各位相加的结果果直到结果为一位数时，该一位数即为num的数根，num与其数根模 9 同余。

我们对num分类讨论：
num不是 9 的倍数时，其数根即为num除以 9 的余数。
num是 9 的倍数时：
$\circ$如果$num=0$,则其数根是0；
$\circ$如果$num>0$ ,则各位相加的结果大于0，其数根也大于0，因此其数根是 9。

细节

根据上述分析可知，当$num>0$时，其数根的结果在范围[1,9] 内，因此可以想到计算$num-1$除以 9 的余数然后加 1。
由于当$num>0$时，$num-1\ge 0$ ,非负数除以 9 的余数一定也是非负数，因此计算$num-1$除以 9 的余数然后加 1 的结果是正确的。

当$num=0$时，$num-1=-1<0$ ,负数对 9 取余或取模的结果的正负在不同语言中有所不同。
$\circ$对于取余的语言，结果的正负和左操作数相同，则$num-1$对 9 取余的结果为-1 ,加 1 后得到结果0，可以得到正确的结果；
$\circ$对于取模的语言，结果的正负和右操作数相同，则$num-1$对 9 取模的结果的果为 8,加 1 后得到结果 9,无法得到正确的结果，此时需要对$num=0$的情况专门做处理。

代码

class Solution {
public:
    int addDigits(int num) {
        return (num - 1) % 9 + 1;
    }
};