位运算-异或运算

1.性质

对于第五条进行解释, 可以看到如下例子, 四者异或运算结果位0(有1的位都出现了两次), 而 *i 也只是将位进行平移而已, 并不影响异或结果
011
010
001
000

2.补充

2.1 $x\mathrm{\&}(x-1)$ 去除最低位1

举例:
$x=a10000;$ (a为高位部分)
$x-1=a01111;$
$x\mathrm{\&}(x-1)=a00000$
这样就去除最低位1了

2.2 $x\oplus (-x)$ 取最低位1

举例:
$x=a10000;$ (a为高位部分)
$-x=\overline{a}10000;$ (取反加1， 01111 + 1 = 10000)
$x\oplus (-x)=010000$ 则只剩下最低位1了！

2.3 函数 sumXor$(x)$,表示 0$\oplus 1\oplus 2\oplus \cdots \oplus x$

因为以 4$i$为开头的连续四个整数异或的结果为 0(参考性质5),
所以 sumXor$(x)$可以被表示为：
$\begin{array}{rl}\text{sumXor}(x)& =\{\begin{array}{ll}x,& x=4k,k\in Z\\ (x-1)\oplus x,& x=4k+1,k\in Z\\ (x-2)\oplus (x-1)\oplus x,& x=4k+2,k\in Z\\ (x-3)\oplus (x-2)\oplus (x-1)\oplus x,& x=4k+3,k\in Z& \end{array}\end{array}$

我们可以进一步简化

1. 第一个原样
2. $(x-1)\oplus x$, 由于x=4k+1，末尾为1，而$(x-1)\oplus x=...1\oplus ...0=0...1=1$
3. $(x-2)\oplus (x-1)\oplus x$ 中x=4k+2，所以$(x-2)\oplus (x-1)=1$， $1\oplus x=x+1(x=4k+2,\mathrm{末}\mathrm{位}\mathrm{为}0，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{异}\mathrm{或}\mathrm{末}\mathrm{位}\mathrm{加}1)$
4. 这个参考上面的性质5即可
   $\text{sumXor}(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x=4k,k\in Z\\ 1,& x=4k+1,k\in Z\\ x+1,& x=4k+2,k\in Z\\ 0,& x=4k+3,k\in Z\end{array}$