11. 盛最多水的容器

1.题目介绍

2.题解（双指针）

参考文章：

作者：Krahets
链接：https://leetcode.cn/problems/container-with-most-water/solutions/11491/container-with-most-water-shuang-zhi-zhen-fa-yi-do/
来源：力扣（LeetCode）

思路

设两指针 $i,j$ ,指向的水槽板高度分别为 $h[i]$ ,$h[j]$ , 此状态下水槽面积为 $S(i,j)$ 由于可容纳水的高度由两板中的 短板 决定,因此可得如下 面积公式 $⋮$

$$S(i,j)=min(h[i],h[j])\times (j-i)$$

在每个状态下,无论长板或短板向中间收窄一格,都会导致水槽 （底边宽度 -1） 变短:

• 若向内 移动短板, 水槽的短板 $min(h[i],h[j])$ 可能变大, 因此下个水槽的面积可能增大。
• 若向内 移动长板, 水槽的短板 $min(h[i],h[j])$ 不变或变小,因此下个水槽的面积 一定变小。

明白这一点的同时，双指针的思路也就跃然纸上了，分别在最左段和最右端设置两个双指针，记录下每次运算后最大的水槽面积，之后向内移动短板（移动长板，面积肯定变小，是无用组合，可以舍弃），最后知直到两指针重合。

算法流程:

1. 初始化: 双指针 $i,j$ 分列水槽左右两端;
2. 循环收窄: 直至双指针相遇时跳出;
   a. 更新面积最大值 $res$ ,
   b.选定两板高度中的短板, 向中间收窄一格;
3. 返回值: 返回面积最大值 $res$ 即可;

正确性证明

若暴力枚举, 水槽两板固成面积 $S(i,j)$ 的状态总数为 $C(n,2)$ 。

假设状态 $S(i,j)$ 下 $h[i]<h[j]$ ,在向内移动短板至 $S(i+1,j)$ ,则相当于消去了
$S(i,j-1),S(i,j-2),...,S(i,i+1)$ 状态集合。而所有消去状态的面积一定都小于当前面积(即 $<S(i,j))$ ,因为这些状态:

• 短板高度: 相比 $S(i,j)$ 相同或更短 (即 $\le h[i]$ );
• 底边宽度: 相比 $S(i,j)$ 更短;

因此,每轮向内移动短板,所有消去的状态都不会导致面积最大值丢失,证毕。

代码

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int i = 0, j = height.size() - 1;
        int res = 0;
        while (i < j){
            res = height[i] <= height[j] ? std::max(res, (j - i) * std::min(height[i++], height[j])) : std::max(res, (j - i) * std::min(height[i], height[j--]));
        }
        return res;
    }
};