137. 只出现一次的数字 II

1.题目介绍

2.题解

2.1 哈希表

思路

同本系列题I，不过多赘述

代码

class Solution {
public:
    int singleNumber(std::vector<int>& nums) {
        std::unordered_map<int,int> map;
        for (int num:nums){
            map[num]++;
        }
        for (auto pair:map){
            if (pair.second == 1) return pair.first;
        }
        return 0;
    }
};

结果展示

空间代价不是很理想

2.2 依次确定每一个二进制位

思路（分治算法）

这里的思路要类比上一题中的异或运算（排除所有出现偶次的数，使用了异或运算的性质）
这里重复出现三次，是一个三的倍数，如何利用好这个性质？
1.首先思考整体求和除三或者对其求和用3求余，发现了一个问题，对总和用3求余的时候，确实能求出0,1,2，但是这里的数可能是n3 + (0,1,2),无法确定这个n？
2.我们就在想能不能消除这个n，最好把这个n拆成n次一位一位的运算就好了，那么每一位我都能确定是0,1,2（或者更少的数），之后统一再变回来。
3.我们再看看这个表达式：n3 + (0,1,2)，是不是感觉很像一种类似三进制的公式；
4.换句话说，如果这里的进制位数小于3，比如像二进制，就可以直接将数组中所有元素每一位求和后对3求余，得到的结果定是在（0,1）之间取一个，是一个确定的值（即单独出现的这个数的该位），之后再通过二进制的数确定该数即可
5.可是我并不知道单独出现的这个数的位数？有限定：-2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1，数组中的元素都在 int（即 32 位整数）范围内

代码

class Solution {
public:
    int singleNumber(std::vector<int>& nums) {
        int result = 0, temp = 0, pos = 0;
        for (int i = 0; i < 32; i++)
        {
            for (int num : nums)
            {
                temp += (num >> i) & 1;
            }
            result += (temp % 3) << i;
            temp = 0;
        }
        return result;
    }
};

结果展示

这里遍历每个二进制位使得时间代价乘上了一个logC，能否进一步优化？

2.3 数字电路设计

思路

我们在计算机组成原理中，或许学过一课：简单的加法器（半加器和全加器），

那我们是否能模仿这里面的思路使用（整体位运算）代替（第i位相加综合%3的for循环操作）呢？
答案是可以的，这也就是我们为何在该系列I中使用异或运算是最优解的原因，那里均为两个一组，正好也满足二进制的进位制。但本题是三个一组，就需要进行一定的修改了。
思考一下我们这里如何解决这个三次一进位的问题呢？
我们在I中只使用了temp一个中间变量，temp每一位（i）的值正是（0,1）中取一个，足够，那我们现在能否使用两个中间变量来表示（0,1,2）呢？可以的
请看下图

我们来分析一下对于ai，bi的公式怎么来的吧

1.对于$a_i$

$$a_i=a_i^{\prime }{b}_i{x}_i+a_i{b}_i^{\prime }{x}_i^{\prime }$$

1.当 $a_i=0$ 即 $a_i^{\prime },$ 只有当 $b_i{x}_i$时（同时为1）,$a_i\mathrm{进}\mathrm{位}\mathrm{为}1,\mathrm{否}\mathrm{则}\mathrm{保}\mathrm{持}\mathrm{原}\mathrm{值}\mathrm{为}0$
2.当 $a_i=1$ 即 $a_i,$ 只有当 $b_i^{\prime }{x}_i^{\prime }$*(同时为0) , $a_i\mathrm{进}\mathrm{位}\mathrm{为}0，\mathrm{否}\mathrm{则}\mathrm{保}\mathrm{持}\mathrm{原}\mathrm{值}1$

2.对于$b_i$

$$bᵢ=a{ᵢ}^{\prime }b{ᵢ}^{\prime }xᵢ+a{ᵢ}^{\prime }bᵢx{ᵢ}^{\prime }=a{ᵢ}^{\prime }(bᵢ\oplus xᵢ)$$

$$b_i=a_i^{\prime }{b}_i^{\prime }{x}_i+a_i^{\prime }{b}_i{x}_i^{\prime }=a_i^{\prime }(b_i\oplus x_i)$$

3.总结

当我们遍历完数组中的所有元素后,$(a_i{b}_i)$ 要么是 (00),表示答案的第 $i$ 位是 0; 要么是(01),表示答案的第 $i$ 位是 1。因此我们只需要返回 $b$ 作为答案即可。

$$\{\begin{array}{l}a=(\sim a\mathrm{\&}b\mathrm{\&}x)|(a\mathrm{\&}\sim b\mathrm{\&}\sim x)\\ b=\sim a\mathrm{\&}(b^{\wedge }x)\end{array}$$

代码

1.pair

表达式 $pair(\sim a\mathrm{\&}b\mathrm{\&}num)|(a\mathrm{\&}\sim b\mathrm{\&}\sim num),\sim a\mathrm{\&}(b^{\wedge }num)$ 会计算两个整数值，然后创建一个匿名 pair 对象并将这两个值传递给 pair 的构造函数

2.tie

tie相当于是一个解包pair的作用，将pair中的两个值分别赋值给a,b
相当于$a=(\sim a\mathrm{\&}b\mathrm{\&}num)|(a\mathrm{\&}\sim b\mathrm{\&}\sim num),b=\sim a\mathrm{\&}(b^{\wedge }num)$

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int a = 0, b = 0;
        for (int num: nums) {
            tie(a, b) = pair{(~a & b & num) | (a & ~b & ~num), ~a & (b ^ num)};
        }
        return b;
    }
};

2.4 数字电路设计优化

我们发现方法三中计算 $b$ 的规则较为简单，而 $a$ 的规则较为麻烦，因此可以将「同时计算」改为「分别计算」，即先计算出 $b$，再拿新的 $b$ 值计算 $a$。

根据真值表可以设计出电路：$a_i=a_i^{\prime }{b}_i^{\prime }{x}_i+a_i{b}_i^{\prime }{x}_i^{\prime }=b_i^{\prime }(a_i\oplus x_i)$
这样就与 $b_i$ 的电路逻辑非常类似了。最终的转换规则即为：

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{b}=\sim \mathbf{a}\mathrm{\&}({\mathbf{b}}^{\wedge }\mathbf{x})\\ \mathbf{a}=\sim \mathbf{b}\mathrm{\&}({\mathbf{a}}^{\wedge }\mathbf{x})\end{array}$$

代码

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int a = 0, b = 0;
        for (int num: nums) {
            b = ~a & (b ^ num);
            a = ~b & (a ^ num);
        }
        return b;
    }
};

作者：力扣官方题解
链接：https://leetcode.cn/problems/single-number-ii/solutions/746993/zhi-chu-xian-yi-ci-de-shu-zi-ii-by-leetc-23t6/
来源：力扣（LeetCode）
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