[学习记录]平衡树

平衡树是一种特殊的二叉树，引入了平衡因子概念，对于每一个节点，统计左子树与右子树的高度，两者的差即为平衡因子，平衡因子为-1，1，0时我们认为树是平衡的，当出现2，-2时则认为树失衡了，需要进行调整。同时由于一颗子树的失衡会向根节点传递，所以我们只需要将第一个失衡子树平衡，就能保持整体的平衡。

 

平衡树出现失衡的情况只有两种，增加节点时与删除节点时。以下分开讨论。

 

1.增加节点

由于增加节点导致的失衡，一定是因为某一个节点新增加了一个右子树或左子树。而平衡方法就是寻找到合适的继承人节点，让它成为新的子树根节点，并对子树结构进行微调。继承人节点的操作有点类似二叉树删除操作，只不过被替代的节点没有删除而是成为了新根节点的子节点。

由于我们每插入一个新节点就检查平衡因子，因此当发现失衡时，失衡节点的平衡因子一定是2或-2，只要将一个新的节点代替失衡节点，将失衡节点降级为新节点的子树，那么平衡树就重新平衡了。

以下将”离新增节点最近的失衡节点“简称为失衡节点，选择算法为：若新增节点处于失衡节点的左子树，则将左子树中值最大的节点作为新的根节点代替失衡节点，失衡节点以及右子树作为新根的右子树；

若新增节点处于失衡节点的右子树，则将右子树中最小的节点作为新根，失衡节点以及左子树作为新根的左子树。

 

这样，每次平衡所需要的操作就是

1.寻找失衡节点，

2.根据平衡因子的正负判断新增节点位置，

3.根据上一步的判断挑选继承节点（左大右小），

4.删除原来的继承节点，将失衡节点与半边子树组成的失衡子树从原平衡树上剥离，将继承节点放到原失衡节点的位置，并与两颗子树相连。

 

2.删除节点

一开始的删除操作与普通二叉树一样，删除之后更新各个节点的平衡因子，发现第一个失衡节点后进行平衡，操作与增加节点一致。