剪绳子
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：
2 <= n <= 58
题解思路：
方法一：暴力递归
我们往往会在头脑中形成一种很直观的暴力解法，就是列举出所有的情况，找到乘积最大的那个解。
设 F(n) 为长度为 n 的绳子可以得到的最大乘积，对于每一个 F(n)，可以得到如下分解：
从上图看出我们可以把求解 F(n)的问题分解成求解 F(n−1)的问题，以此类推，直到求解到 F(2) 时，1F(2)=1，递推回去，问题就得到了解决。这用到的就是分治的思想。
分治思想的解决方法往往是递归，注意到我们每次将一段绳子剪成两段时，剩下的部分可以继续剪，也可以不剪， 因此我们得到了递归函数 F(n)=max(i×(n−i),i×F(n−i)),i=1,2,...,n−22F(n)=max(i×(n−i),i×F(n−i)),i=1,2,...,n−2。
代码（超时）
- python
class Solution: def cuttingRope(self, n: int) -> int: if n == 2: return 1 res = -1 for i in range(1, n): res = max(res, max(i * self.cuttingRope(n - i),i * (n - i))) return res
- Java
class Solution { public int cuttingRope(int n) { //暴力递归 if(n==2) return 1; int res=-1; for(int i=1;i<n-1;i++){ res=Math.max(res,Math.max(i*cuttingRope(n-i),i*(n-i))); } return res; } }
方法二：记忆化技术（自顶向下）
上述暴力解法会超时，但是很多进阶解法往往是暴力解法的优化。注意到上述代码中超时的原因主要是因为重复计算了 F(n)，为了避免重复计算可以使用 记忆化（memoization） 技术（维基百科）。
记忆化技术的代码中经常需要建立函数 memoize 辅助实现。我们使用数组 f 来保存长度为 i时的最大长度 f[i]，最后返回 f[n]即可。
代码
- python
class Solution: def cuttingRope(self, n: int) -> int: # 使用辅助函数 def memoize(n): if n == 2: return 1 if f[n] != 0: # 如果f[n]已经计算过，直接返回避免重复计算 return f[n] res = -1 for i in range(1, n): res = max(res, max(i * (n - i),i * memoize(n - i))) f[n] = res return res f = [0 for _ in range(n + 1)] return memoize(n)
- java
class Solution { private int dp[]; public int cuttingRope(int n) { dp=new int[n+1]; dp[2]=1; return helper(dp,n); } public int helper(int dp[],int n) { //记忆化递归 if(n==2) return dp[2]; if(dp[n]!=0) return dp[n]; int res=-1; for(int i=1;i<n-1;i++){ res=Math.max(res,Math.max(i*helper(dp,n-i),i*(n-i))); } dp[n]=res; return res; } }
方法三：动态规划（自底向上）
同样地，我们也可以使用动态规划，从已知值 F(2)逐步迭代到目标值 F(n)，它是一种自底向上的方法。
算法
建立一维动态数组 dp：
- 边界条件：
dp[1] = dp[2] = 1，表示长度为2的绳子最大乘积为1； - 状态转移方程：
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, j * dp[i - j]))，可以这样理解：
代码
- python
class Solution: def cuttingRope(self, n: int) -> int: dp = [0 for _ in range(n + 1)] # dp[0] dp[1]其实没用 dp[2] = 1 # 初始化 res = -1 for i in range(3, n + 1): for j in range(i): dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, j * dp[i - j])) return dp[n]
- java
class Solution { private int dp[]; public int cuttingRope(int n) { //自底向上 dp=new int[n+1]; dp[2]=1; for(int i=3;i<=n;i++){ for(int j=0;j<i;j++) dp[i]=Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j])); } return dp[n]; } }
链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof
