剪绳子

转自：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/solution/xiang-jie-bao-li-di-gui-ji-yi-hua-ji-zhu-dong-tai-/

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 58

题解思路：

1|0方法一：暴力递归

我们往往会在头脑中形成一种很直观的暴力解法，就是列举出所有的情况，找到乘积最大的那个解。
设 F(n) 为长度为 n 的绳子可以得到的最大乘积，对于每一个 F(n)，可以得到如下分解：

从上图看出我们可以把求解 F(n)的问题分解成求解 F(n−1)的问题，以此类推，直到求解到 F(2) 时，1F(2)=1，递推回去，问题就得到了解决。这用到的就是分治的思想。

分治思想的解决方法往往是递归，注意到我们每次将一段绳子剪成两段时，剩下的部分可以继续剪，也可以不剪， 因此我们得到了递归函数 F(n)=max(i×(n−i),i×F(n−i)),i=1,2,...,n−22F(n)=max(i×(n−i),i×F(n−i)),i=1,2,...,n−2。

1|1代码（超时）

python

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n == 2:
            return 1
        res = -1
        for i in range(1, n):
            res = max(res, max(i * self.cuttingRope(n - i),i * (n - i)))
        return res

　Java

class Solution {
    
    public int cuttingRope(int n) {
        //暴力递归
        if(n==2)
            return 1;
        int res=-1;
        for(int i=1;i<n-1;i++){
            res=Math.max(res,Math.max(i*cuttingRope(n-i),i*(n-i)));
        }
        return res;
    }
}

1|2

2|0方法二：记忆化技术（自顶向下）

上述暴力解法会超时，但是很多进阶解法往往是暴力解法的优化。注意到上述代码中超时的原因主要是因为重复计算了 F(n)，为了避免重复计算可以使用 记忆化（memoization） 技术（维基百科）。

记忆化技术的代码中经常需要建立函数 memoize 辅助实现。我们使用数组 f 来保存长度为 i时的最大长度 f[i]，最后返回 f[n]即可。

2|1代码

python

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        # 使用辅助函数
        def memoize(n):
            if n == 2: return 1
            if f[n] != 0: # 如果f[n]已经计算过，直接返回避免重复计算
                return f[n]
            res = -1
            for i in range(1, n):
                res = max(res, max(i * (n - i),i * memoize(n - i)))
            f[n] = res
            return res

        f = [0 for _ in range(n + 1)]
        return memoize(n)

java

class Solution {
    private int dp[];
    public int cuttingRope(int n) {
        dp=new int[n+1];
        dp[2]=1;
        return helper(dp,n);
    }
    public int helper(int dp[],int n) {
        //记忆化递归
        if(n==2)
            return dp[2];
        if(dp[n]!=0)
            return dp[n];
        int res=-1;
        for(int i=1;i<n-1;i++){
            res=Math.max(res,Math.max(i*helper(dp,n-i),i*(n-i))); 
        }
        dp[n]=res;
        return res;
    }
}

2|2

3|0方法三：动态规划（自底向上）

同样地，我们也可以使用动态规划，从已知值 F(2)逐步迭代到目标值 F(n)，它是一种自底向上的方法。

3|1算法

建立一维动态数组 dp：

边界条件：dp[1] = dp[2] = 1，表示长度为 2 的绳子最大乘积为 1；
状态转移方程：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, j * dp[i - j]))，可以这样理解：

3|2代码

python

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        dp = [0 for _ in range(n + 1)]  # dp[0] dp[1]其实没用
        dp[2] = 1  # 初始化
        res = -1
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(i):
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, j * dp[i - j]))
        return dp[n]

java

class Solution {
    private int dp[];
    public int cuttingRope(int n) {
        //自底向上
        dp=new int[n+1];
        dp[2]=1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++)
                dp[i]=Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
        }
        return dp[n];
    } 
}

3|3

4|0

链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof

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本文作者：程序员小宇
本文链接：https://www.cnblogs.com/treasury/p/12618112.html
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