7.21 做题记录

P8321 『JROI-4』沈阳大街 2

直接考虑排列是困难的，我们把它视作一个匹配的形式。

\(A,B\) 顺序不影响答案，将它们排序后在值域上 dp。

设 \(f_{i,j}\) 为考虑 \(A,B\) 前 \(i\) 大的值（设为 \(v\)），配对了 \(j\) 个的方案数，转移：\(f_{i,j} = f_{i-1,j-1} \times v \times (tmp - j - 1 ) + f_{i-1,j}\)，其中 \(tmp\) 表示前 \(i\) 大的数中与 \(v\) 来自不同数组的数个数，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

总结：

• 用匹配的形式描述一一对应
• 带 \(\min/\max\) 的贡献在值域上做

[ARC087F] Squirrel Migration

考虑答案的上界，设删去一条边后两边的大小为 \(S_1,S_2\)，则这条边的贡献 \(\leq 2 \times \min S\)，根据经典结论，我们取重心为根，则每个匹配的两个点都在不同子树中。

现在要求方案数，考虑容斥，设 \(f_i\) 为有 \(i\) 个匹配在同一子树的方案数，则：

\[ans = \sum_{i=0}^n (-1)^i \times f_i \times (n - i)! \]

求解 \(f\) 是容易的，设子树的大小为 \(x\)，其中有 \(k\) 个点满足 \(i\) 与 \(p_i\) 在同一子树中，那么其方案数为 \(\binom{x}{k}^2k!\)，使用树上背包，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

总结：

• 树上匹配问题考虑重心

P8253 [NOI Online 2022 提高组] 如何正确地排序

假设所有数对 \(\max\) 和 \(\min\) 都有贡献，则答案为 \(2n\times sum\) 减去没有贡献的，转化成如下形式：

假设现在有数组 \(x,y,z\)，对每个 \(y_i\) 计算有多少 \(j\) 满足：

\[\begin{cases} x_i-y_i\le y_j-x_j\\ y_i-z_i\le z_j-y_j \end{cases} \]

选择任意二位偏序求解方法计算，时间复杂度 \(O(n \log n)\)，注意我们要枚举三个有序数组，所以带上 \(24\) 倍常数。

总结：

• 补集转化的使用：？

P7962 [NOIP2021] 方差

每次操作等价于交换差分，我们要最小化 \(n \times \sum a_i^2- (\sum a_i)^2\)，有如下结论：差分是先减小后递增的。

把差分重排，从小到大考虑，那么每个差分要么插在首要么插在尾，差的形式不好维护，考虑将一维放到状态里去，设 \(f_{i,j}\) 表示处理到前 \(i\) 个差分，这 \(i\) 个差分还原出来的 \(a_i\) 的序列的和是 \(j\)，在这个情况下的 \(\sum a_i^2\) 的最小值，不为 \(0\) 的差分只有 \(O(V)\) 个，时间复杂度 \(O(nV^2)\)。

总结：

• 把尽量简单且能覆盖其他信息的结构加入状态

[ARC161E] Not Dyed by Majority (Cubic Graph)

考虑无解的占比很大，随机一个颜色序列，使用 2-SAT 判断即可。

总结：

• 答案在总方案数的占比较大，可以考虑随机化之后 check

CF1819E Roads in E City

考虑删边，删去 \((u_i,v_i)\) 后随机询问 \(k\) 次 \(u_i\) 或 \(v_i\)，若 \(u_i,v_i\) 不连通，则有极大概率得到至少一个 $0，否则所有询问均返回 \(1\) ，由此求出任意一棵被修复的边的生成树。

接下来考虑每条非树边 \((u_i,v_i)\)，删去 \(u_i,v_i\) 树上简单路径上任意一条边 \((u_j,v_j)\)，然后加入 \((u_i,v_i)\)，随机询问 \(k\) 次 \(u_i\) 或 \(v_i\)。

正确率为 \(1 - \frac{1}{2^k}\)。