[sdut]2623+[sdut]2878//四五届省赛中的两道数学期望
两道数学期望的题今天一起总结上来。
1.the number of steps（第四届省赛）
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <iomanip> 4 using namespace std; 5 double dp[100][100]; 6 int n; 7 double a,b,c,d,e; 8 9 int main() 10 { 11 while(cin>>n&&n) 12 { 13 cin>>a>>b>>c>>d>>e; 14 memset(dp,0,sizeof(dp)); 15 dp[n][n]=0;//目的地 16 for(int i=n-1;i>=1;i--) 17 dp[n][i]+=1*(dp[n][i+1]+1); 18 for(int i=n-1;i>=1;i--)//行数 19 { 20 dp[i][i]+=a*(dp[i+1][i+1]+1)+b*(dp[i+1][i]+1); 21 for(int j=i-1;j>=1;j--) 22 dp[i][j]+=c*(dp[i+1][j+1]+1)+d*(dp[i+1][j]+1)+e*(dp[i][j+1]+1); 23 } 24 cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2)<<dp[1][1]<<endl; 25 } 26 return 0; 27 }
↑代码完全把左替换成右，最后的dp[1][n]改成了dp[1][1],下标变简单了。
先初始化最下面一排，然后依次递推即可。
期望公式：
dp[i][i]+=a*(dp[i+1][i+1]+1)+b*(dp[i+1][i]+1);
dp[i][j]+=c*(dp[i+1][j+1]+1)+d*(dp[i+1][j]+1)+e*(dp[i][j+1]+1);
2.circle（第五届省赛）
期望公式：
E[x]=0 (x==0);
E[x]=0.5*(E[x-1]+1)+0.5*(E[x+1]+1); (x!=0)
移项得，-E[i-1]*0.5+E[i]*0.5-E[i+1]*0.5=1
n个方程高斯消元求解。因为每个方程只有三个不为零系数，所以当TLE可以适当剪枝。
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上面两道题，首先第一步是列出期望公式，写边界条件。
第一道只要按顺序递推即可；第二道题则需列方程组高斯消元求解
产生这么大的区别的原因是：
当我们把各个状态当成是一个个节点时，概率关系为有向边，我们可看到，可递推的问题其实就是这个关系图是无环的，必须要用方程组解决的问题其实就是存在环的！ 而且还要指出的是用高斯消元的时候，要注意误差的问题，最好把式子适当的增大，避免解小数，否则误差太大，估计也会卡题。
