高阶等差数列

高阶等差数列

对于一个给定的数列，将连续两项之间的差$ b_n=a_{n+1}-a_n\(得到一个新的数列，那么\)b_n\(称为原数列的一阶等差数列，若\)c_n=b_{n+1}-b_n\(，那么\)c_n$称为原数列的二阶等差数列，以此类推...

高阶等差数列都有一个多项式的通项公式。

差分法

给定序列\(a\)，依次求出该序列的\(k\)阶等差序列，直到某个序列全为\(0\)为止，按照下列排列规则排列在纸上

\(C_{n}^1~~~a_1~~~~~~~~a_2~~~~~~~~a_3~~~~~~~~a_4~~~~~~~~a_5... \\C_{n}^2~~~~~~~~~b_1~~~~~~~~~b_2~~~~~~~~~b_3~~~~~~~~~b_4... \\C_{n}^3~~~ ~~~~~~~~~~~~c_1~~~~~~~~~~c_2~~~~~~~~~c_3... \\~...~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~...~~~~~~~~~~... \\ C_{n}^m~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~~0...\)

上表称为序列\(a\)的差分表

定理一

若序列a aa的多项式P ( x ) P(x)P(x)的最高幂次为n nn，对于任何的k ≥ n k\geq nk≥n，k kk阶差分恒为0 00

定理二

序列的前缀和\(S_n=a_1C_{n}^1+b_1C_{n}^2+c_1C_{n}^3+...+0C_{n}^m\)，那么通项公式\(a_n = S_{n}-S_{n-1}\)

案例引入

设\(a[i]={1,4,9,16,25,...}\)

差分表如下：

\(C_{n}^1~~~1~~~~~~~~~4~~~~~~~~~9~~~~~~~~~16~~~~~~~~25... \\C_{n}^2~~~~~~~~~3~~~~~~~~~5~~~~~~~~~7~~~~~~~~~~9... \\C_{n}^3~~~ ~~~~~~~~~~~~2~~~~~~~~2~~~~~~~~~~2... \\C_{n}^4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~0...\)

那么\(S_n=C_{n}^1+3C_{n}^2+2C_{n}^3\)，然后可得\(S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\),\(a_n=S_n-S_{n-1}=n^2\)

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