二分法求凸多边形的外接圆最大半径
这是一道来自《算法笔记》的题目
题目描述
给定 N 个线段的长度,试将它们头尾相接(顺序任意)地组合成一个凸多边形,使得凸多边形的外接圆的半径最大,求该最大半径。其中 N 不超过 105 ,线段长度均不超过 100 ,要求算法中不涉及坐标的计算。
考查内容
二分算法的本质就是通过不断迭代使left 和 right 在固定条件下逐渐靠近真实值,符合一定误差,所以实际上把该题放在二分扩展里面,这个所谓的最大半径的“最大”是不在求解中的,最大应该算题干,先组成一个有外接圆的凸多边形,然后求其半径即可。不要误入歧途在“最大”上绞尽脑汁。
分析
- 首先半径一定大于等于最长线段的一半。
- 这题的意思是这些线段组成的凸多边形的顶点一定能放在某个圆上,我们只需要考虑半径最大就行,不用考虑如何组成的这种图形。
- 外接圆圆心与每个线段顶点连接后会有一个圆心角
- 如果圆心在凸多边形的内部,假设最大半径是rmax,则所有圆心角之和应该为2π。
-
- 如果半径比rmax大,那么这些线段的圆心角之和sum<2∗π,线段没法首尾相连的在外接圆上,半径应变小。
- 如果半径比rmax小,那么这些线段的圆心角之和sum>2∗π,这时构成的外接圆不是半径最大的外接圆,半径应变大。
sum为绿色之和
因此可以对半径长度二分,寻找圆心角之和为2∗π2*\pi2∗π的那个值即可。
2. 如果圆心在凸多边形的外部,假设最大半径是rmax,那么最长的线段的圆心角,一定等于其他线段的圆心角之和。取计算目标为其他圆心角和+2π−最大圆心角,此时情况取反。
代码(引用https://blog.csdn.net/flashmsn/article/details/94642687)
#include<cstdio> #include<cmath> const double PI=acos(-1.0); const double eps=1e-5;//比较精度 //求圆心角之和 double totalCornerAngles(double edges[],int n,double r){ double sum = 0.0; for(int i =0;i<n;i++) sum+=asin(edges[i]/2/r)*2; return sum; } int main(){ int N;//边数 scanf("%d",&N);//输入边数 double edges[100];//边长数组 double sum;//圆心角之和 double maxAngle=0.0;//最长边对应的圆心角 double maxEdge=0.0;//最长边 //初始化edges for(int i=0;i<N;i++){ scanf("%lf",&edges[i]); if(edges[i]>maxEdge) maxEdge = edges[i];//保存最大边 } //以最长边为直径求圆心角之和,若为2π则直接返回 sum = totalCornerAngles(edges,N,maxEdge/2); if(fabs(sum-PI*2)<eps){ printf("外接圆的最大半径是最大边的一半:%.2f",maxEdge/2); return 0 ; } //半径大于最大边的一半(即斜边大于直角边) double left =maxEdge/2,right=10000000,mid; double other=0; //在误差范围内循环求解 while(right -left >eps){ mid = (right + left) /2; maxAngle=asin(maxEdge/2/mid)*2;//求出最大边对应的圆心角 sum = totalCornerAngles(edges,N,mid); other=sum-maxAngle; //如果除去最大圆心角的其他圆心角之和小于π,说明圆心在多边形外面 if(other<PI){ sum=other+2*PI-maxAngle; if( sum<2*PI) left = mid; else right = mid; } //圆心在多边形里面 else{ if(sum>2*PI) left = mid; else right = mid; } } printf("外接圆的最大半径是:%.2lf",mid); return 0; }
参考:https://blog.csdn.net/liuerin/article/details/98961797