《线性代数》4. 矩阵的高级话题

更多的变换矩阵

之前我们说矩阵可以看作是向量的函数，矩阵可以改变一个点的坐标，比如将一个点的横坐标扩大 a 倍，纵坐标扩大 b 倍，那么就可以让如下矩阵与之相乘。

\(T = \begin{Bmatrix}a & 0\\0 & b\end{Bmatrix}\)

本次就来介绍更多的变换矩阵，假设我们希望一个点沿着 \(x\) 轴翻转，也就是让坐标 \((x, y)\) 变成 \((x, -y)\)，那么变换矩阵 \(T\) 是多少呢？很明显，此时相当于将横坐标扩大为原来的 \(1\) 倍（不变），纵坐标扩大为原来的 \(-1\) 倍，所以 \(T\) 如下。

\(T = \begin{Bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{Bmatrix}\)

如果希望一个点沿着 \(y\) 轴翻转，也就是让坐标 \((x, y)\) 变成 \((-x, y)\)，那么变换矩阵 \(T\) 的值就是下面这样。

\(T = \begin{Bmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{Bmatrix}\)

如果希望一个点沿着原点翻转，也就是让坐标 \((x, y)\) 变成 \((-x, -y)\)，那么变换矩阵 \(T\) 的值就是下面这样。

\(T = \begin{Bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{Bmatrix}\)

如果希望一个点沿着 \(x\) 轴错切，也就是让坐标 \((x, y)\) 变成 \((x + ay, y)\)，那么变换矩阵 \(T\) 的值就是下面这样。

\(T = \begin{Bmatrix}1 & a\\0 & 1\end{Bmatrix}\)

如果希望一个点沿着 \(x\) 轴错切，也就是让坐标 \((x, y)\) 变成 \((x, y + bx)\)，那么变换矩阵 \(T\) 的值就是下面这样。

\(T = \begin{Bmatrix}1 & 0\\b & 1\end{Bmatrix}\)

矩阵的旋转变换

假设有一个点 \((x, y)\)，然后 \((x', y') = T · (x, y)\)，如果我们希望 \((x', y')\) 相对于 \((x, y)\) 是顺时针旋转 \(θ\) 度，那么 \(T\) 是多少呢？首先要想求 \(T\)，我们首先要知道 \((x, y)\) 旋转 \(θ\) 度之后的 \((x', y')\) 是多少。

我们对式子化简，可以得出：

• \(x' = \frac{cos(α - θ)}{cosα}x = \frac{cosαcosθ + sinαsinθ}{cosα}x = cosθ · x + sinθ\frac{sinα}{cosα}·x = cosθ · x + sinθtanα·x = cosθ·x + sinθ·y\)
• \(y' = \frac{sin(α - θ)}{sinα}y = \frac{sinαcosθ - cosαsinθ}{sinα}y = cosθ · y - sinθ\frac{cosα}{sinα}y = cosθ · y - sinθcotα·y = cosθ·y - sinθ·x\)

所以 \((x, y)\) 顺时针旋转 \(θ\) 度之后，坐标点会变成 \((cosθ·x + sinθ·y, cosθ·y - sinθ·x)\)，那么现在的问题就变成了如果想让矩阵 \(T\) 和 \((x, y)\) 相乘之后，变成 \((cosθ·x + sinθ·y, cosθ·y - sinθ·x)\)，那么 \(T\) 是多少？

首先 \(T\) 肯定是一个 \(2×2\) 的矩阵，我们计算一下就知道了。

\(\begin{Bmatrix}a & b\\c & d \end{Bmatrix} · \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{Bmatrix}ax + by\\cx + dy\end{Bmatrix} = \begin{pmatrix}cosθ·x + sinθ·y\\cosθ·y - sinθ·x\end{pmatrix}\)

所以很明显：\(a = cosθ, b = sinθ, c = -sinθ, d = cosθ\)，矩阵 \(T\) 就是：

\(T = \begin{Bmatrix}cosθ & sinθ\\-sinθ & cosθ\end{Bmatrix}\)

以后让 \(T\) 乘上某个向量，就可以让它顺时针旋转 \(θ\) 度，这个 \(θ\) 是一个已知值。

单位矩阵

在介绍向量的时候，我们说模为 1 向量叫做单位向量，比如半径为 1 的圆，那么圆上任意一点都是单位向量。同理也有单位矩阵，那么单位矩阵是怎么定义的呢？很简单，如果矩阵 \(I\) 和向量 \(v\) 相乘之后，或者说对 \(v\) 进行映射之后，得到的结果还是 \(v\)，那么我们就称矩阵 \(I\) 是单位矩阵。

而单位矩阵有两个特点：

• 它是一个方阵
• 主对角线的元素都是 1，其它元素是 0

\(I_{n} = \begin{Bmatrix}1 & 0 & 0 & ··· & 0\\0 & 1 & 0 & ··· & 0\\0 & 0 & 1 & ··· & 0\\··· & ··· & ··· & ··· & ···\\0 & 0 & 0 & ··· & 1\end{Bmatrix}\)

那么单位矩阵都有哪些性质呢？

• \(I·A = A\)
• \(A · I = A\)

矩阵的逆

在数字系统中，如果存在一个非零整数 \(y\)，使得 \(x · y = y · x = 1\)，那么 \(y\) 就叫 \(x\) 的倒数，记作 \(y = x^{-1}\)。

同理在矩阵中也是如此，如果 \(AB = BA = I\)，则称 \(B\) 是 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(B = A^{-1}\)。也就说，两个矩阵相乘（无论是 \(A·B\) 还是 \(B·A\)）如果等于单位矩阵 \(I\)，那么其中一个矩阵就是另一个矩阵的逆矩阵。需要注意的是，不是所有矩阵都有逆矩阵，如果一个矩阵没有逆矩阵，那么该矩阵就是不可逆矩阵，或者叫奇异矩阵（non-singular）。反之就是可逆矩阵，或者非奇异矩阵。

值得一提的是，矩阵的乘法不满足交换律，有可能 \(AB=I\)，但是 \(BA≠I\)，那么此时我们称 \(B\) 是 \(A\) 的右逆矩阵。如果 \(BA = I\)，但是 \(AB≠I\)，那么我们称 \(B\) 是 \(A\) 的左逆矩阵。

当然，在 \(B\) 是 \(A\) 的左逆矩阵的同时，\(A\) 也是 \(B\) 的右逆矩阵，反之依然。

因为有的矩阵可能只有左逆矩阵，或者只有右逆矩阵，如果左逆矩阵和右逆矩阵同时存在，那么它们一定是相等的。换言之，如果矩阵 \(A\) 既存在左逆矩阵 \(B\) 又存在右逆矩阵 \(C\)，那么 \(B\) 和 \(C\) 一定是相等的，并且是 \(A\) 的逆矩阵。

咋一看这个结论不好理解，但证明起来很简单，证明：如果 \(AB = I, CA = I\)，那么 \(B\) 和 \(C\) 相等。

因为矩阵乘以单位矩阵还等于原矩阵，所以 \(C(AB) = CI\)，矩阵乘法虽然没有交换律，但满足结合律，所以可以得出 \((CA)B=C\)，进而得出 \(B = C\)。

在线性代数中，我们只关心逆矩阵，至于是左逆还是右逆则不太关心。

然后可逆矩阵要满足 \(AB = BA = I\)，那么可逆矩阵一定是方阵，如果不是方阵，那么该矩阵就是不可逆矩阵（奇异矩阵）。

• 补充：一个整数的 \(0\) 次幂等于 \(1\)，那么一个矩阵的 \(0\) 次幂等于多少呢？显然是单位矩阵。
• \(A^{-1}\) 就是 \(A\) 的逆矩阵，而 \(A^{-n}\) 就是 \((A^{-1})^{n}\)。

再来看看如何用 Numpy 生成单位矩阵和逆矩阵。

import numpy as np

# 生成单位矩阵
print(np.eye(5))
"""
[[1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]]
"""
print(np.eye(5, k=1))
"""
[[0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]]
"""
print(np.eye(5, k=2))
"""
[[0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]]
"""
print(np.eye(5, k=-2))
"""
[[0. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]
 [1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]]
"""

单位矩阵比较简单，就是主对角线上的值都为 1，然后 np.eye 还支持一个参数 k，含义就是代码演示的那样。

import numpy as np

# 2 x 2 的矩阵
m = np.array(
    [[1, 2], [3, 4]]
)
# 获取逆矩阵
m_inv = np.linalg.inv(m)
print(m_inv)
"""
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]
"""
# 矩阵乘上逆矩阵，结果是单位矩阵
print(m @ m_inv)
"""
[[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
 [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]
"""
print(m_inv @ m)
"""
[[1.00000000e+00 0.00000000e+00]
 [2.22044605e-16 1.00000000e+00]]
"""
# 注：浮点数存在误差

try:
    np.linalg.inv(
        np.array([[1, 2, 3], [2, 3, 4]])
    )
except Exception as e:
    # 计算矩阵的逆，那么该矩阵必须是方阵
    print(e)
"""
Last 2 dimensions of the array must be square
"""
try:
    np.linalg.inv(
        np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
    )
except Exception as e:
    # 该矩阵为奇异矩阵，不存在逆矩阵
    print(e)
"""
Singular matrix
"""

以上我们就通过编程实现了单位矩阵和逆矩阵，首先和单位矩阵一样，可逆矩阵也必须是方阵。但如果一个矩阵已经是方阵了，我们要如何判断它是否可逆呢？换句话说，什么的方阵才可逆呢？我们一会再说。

矩阵的逆的性质

介绍完矩阵的逆，再来说说它的性质。

性质：如果矩阵 \(A\) 存在逆矩阵 \(B\)，则 \(B\) 唯一。

下面我们来证明这一点，假设矩阵 \(A\) 存在两个不同的逆矩阵 \(B\) 和 \(C\)，那么：

\(AB = AC = I\)

\(B(AB) = B(AC)\)

\((BA)B = (BA)C\)

\(B = C\)

但是推出来，\(B\) 和 \(C\) 是相等的，所以一个矩阵如果可逆，那么它的逆矩阵一定是唯一的。

性质：\((A^{-1})^{-1} = A\)，一个矩阵的逆矩阵的逆矩阵，还等于它自身。

证明：首先 \(A\) 的逆矩阵是 \(B\)，那么意味着 \(B\) 的逆矩阵是 \(A\)。我们记 \(B = A^{-1}\)，那么 \(B^{-1} = (A^{-1})^{-1}\)，显然等于 \(A\)。

性质：\((A·B)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)

证明：显然 \((AA^{-1})·(BB^{-1})=I\)，进而得出 \((AB)·(A^{-1}B^{-1})=I\)，又因为 \((AB)·(AB)^{-1} = I\)，所以 \((A·B)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。该性质和上面那个性质，和矩阵的转置比较像。

不过既然提到了转置，那么再补充一个，\((A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}\)，它的证明也很简单。

基于 \(I^{T} = I\) 可以得出 \((A^{-1}·A)^{T} = I\)，因为 \((A·B)^{T} = B^{T} · A^{T}\)，所以 \((A^{-1}·A)^{T} = I = A^{T}·(A^{-1})^{T}\)。

而 \((A^{T})^{-1} · A^{T} = I\)，所以 \((A^{T})^{-1} · A^{T} = A^{T}·(A^{-1})^{T}\)，进而得出 \((A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}\)。