高数上第一章知识点总结

第一章 函数与极限

1.1 函数及其性质

1.1.1 集合

集合：具有某种特定性质事物的全体称为集合。

元素：组成这个集合的事物称为该集合的元素。

集合与元素的关系：属于∈，不属于∉。

集合的表示方法：枚举法，描述法。

1.1.2 集合的运算

基本运算：并、交、差。

全集\基本集：研究的问题所限定的大集合。

余集\补集：I - A或者A^C 。

运算规律：交换律、结合律、分配律、对偶律、幂等律、吸收律。

1.1.3 区间与领域

有限区间：开区间(a,b) 闭区间[a,b] 半开区间[a,b) (a,b]。b-a：区间长度

无限区间：开区间(a,+∞) (-∞,a) -∞,+∞) 半开区间[a,+∞) (-∞,a]

邻域：以点x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域，记作U(x0)。若δ是某一正数，则开区间(x0-δ,x0+δ)是点x0的一个邻域，记作U(x0,δ)。

去心邻域：将点x0去掉后的x0的邻域，记作U(x0,δ)。

左邻域：(x0-δ,x0)

右邻域：(x0,x0+δ)

1.1.4 映射

X，Y是两个非空集合，存在一个法则f，使得对X中的每个元素x，按法则f在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的一个映射。

定义域D(f)，值域R(f)或f(X)。

满射：R(f) = Y 单射：f(x1) ≠ f(x2) 一一映射：满射+单射

泛函、变换、函数

逆映射：g:R(f) -> X (f是单射，y = f(x)，则 x = g(y))

复合映射：g:X->Y1,f:Y2->Z,Y1包含于Y2, f g:X->Z。

1.1.5 函数

D是实数集，称f:D->R为定义在D上的函数。y = f(x),x∈D。y是因变量，x是自变量，D称为定义域。

1.1.6 函数的特性

（1）函数的有界性

X包含于D，若存在M使得f(x) <= M，则称f(x)在X上有上界，类似可得下界的定义。数M使得|f(x)| <= M（x∈X），则称f(x)在X上有界。

（2）函数的单调性

区间I包含于D，若对于I上的任意两点x1,x2，当x1 <x2时，恒有f(x1) < f(x2)，则称f(x)在区间I上单调递增；若恒有f(x1) > f(x2)，则称f(x)在I上单调递减。

（3）函数的奇偶性

定义域D关于原点对称，即若x∈D，则-x∈D。

若对任意的x∈D，都有f(x) = -f(-x)，则称为奇函数；若对任意的x∈D，都有f(x) = f(-x)，则称为偶函数。

（4）函数的周期性

定义域D，若存在一个整数T，使得对任意x∈D，有(x+-T)∈D，且恒成立，则称f(x)为周期函数。

1.1.7 反函数和复合函数

函数f:D->f(D)是单射，存在逆映射f^-1:f(D)->D，称此映射为函数f的反函数。

若f是单调函数，则必存在反函数，且反函数也是单调函数。

y=f(u),D(f),R(f) u=g(x) D(g),R(g) R(g)包含于D(f)，复合映射确定的函数为复合函数。

1.1.8 函数的四则运算

1.1.9 初等函数

幂函数、质数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切等。

1.2 数列的极限

1.2.1 数列极限的定义

（1）数列的定义 对于每个n∈N+，按照某一法则，有唯一确定的实数xn与之对应，这些实数xn按照下标从小到大排序得到的序列：x1,x2,x3...,xn...

（2）数列极限的定义 当n无限增大时，对应的xn无限接近于某个确定的常数a，则称数列{xn}收敛于a，否则称数列{xn}发散。

1.2.2 数列极限的性质

（1）极限的唯一性

（2）收敛数列的有界性：如果数列收敛，那么数列一定有界。

（3）收敛数列的保号性：如果数列收敛于a，且a>0(或a<0)，那么存在整数N>0，当n>N时，都有xn>0(xn < 0)。

（4）收敛数列与其子数列的关系：收敛数列的子数列也一定收敛，且极限相同。

1.3 函数的极限

1.3.1 函数极限的定义

（1）自变量x的绝对值无限增大且趋于无穷大时函数的极限

对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当x满足不等式|x| > X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x) - A| < ε。

趋向于正无穷，负无穷类似。

（2）自变量x趋于有限值时函数的极限

对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x满足0 < |x - x0| < δ时，对应的函数值f(x)满足不等式|f(x) - A| < ε。

左极限、右极限类似。

1.3.2 函数极限的性质

（1）函数极限的唯一性

（2）函数极限的局部有界性

（3）函数极限的局部保号性

1.4 极限的运算法则

1.4.1 四则运算法则

求极限：0/0型未定式极限，设法消去分子分母中极限为零的公因式；∞ - ∞型未定式极限，可以通过通分化为0/0型未定式极限

1.4.2 复合运算法则

1.5 极限存在法则

1.5.1 夹逼原理

数列{xn},{yx},{zn}满足：从某项起，存在n0∈N，当n>n0时，有yn<=xn<=zn，且yn,zn的极限相同为a，则数列xn存在极限a。

当x∈U(x0,r)（去心邻域）（或|x| > M）时，有g(x) <= f(x) <= h(x)成立，且g(x),z(x)有相同的极限A，则f(x)存在极限A。

1.5.2 单调有界准则 

单调递增有上界或单调递减有下界或单调有界数列必有极限。

函数f(x)在某个点的左邻域内单调有界，则f(x)在x0左邻域的极限必定存在。

右邻域、趋向正负无穷的情况与上面类似。

1.5.3 Cauchy收敛准则

1.5.4 两个重要的极限

（1）lim(x->0) sinx/x = 1（利用这个极限可以求许多与三角函数有关的未定式极限）

cosx < sinx / x < 1 => 0 < 1-sinx/x < 1-cosx = x*x / 2

（2）lim(x->∞)(1+1/x)^x = e

lim(n->∞) \(1+1/n)^n = e

1.6 无穷小与无穷大

1.6.1 无穷小

函数α(x)当x->x0或x->∞时的极限为零，那么称函数α(x)为x->x0或x->∞时的无穷小，或无穷小量。

f(x)的极限为A的充要条件是f(x) = A+α(x)，其中α(x)为无穷小。

1.6.2 无穷大

当x->x0或x->∞时，对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大，那么称函数f(x)为当x->x0或x->∞时的无穷大，或无穷大量。

1.6.3 无穷小与无穷大

f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则1/f(x)为无穷大。

有限个无穷小的和是无穷小。

有限个无穷小的乘积是无穷小。

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

常数与无穷小的乘积是无穷小。

有限个无穷大的乘积是无穷大。

无穷大与有界量之和为无穷大。

1.6.4 无穷小的比较

β(x)、α(x)均为无穷小，α(x) ≠ 0，极限β(x) / α(x)

高阶无穷小：极限为0，记作β(x) = o(α(x))

低阶无穷小：极限为∞

同阶无穷小：极限为常数C（C≠0），记作β(x) = O(α(x))

k阶无穷小：α(x)^k（k>0为常数）极限为C≠0

等价无穷小：极限为1

无穷小等价替换原理

1.7 函数的连续性

1.7.1 连续函数的定义

函数y = f(x)在x点x0的某一邻域内有定义，如果lim(x->x0)f(x) = f(x0)，则称函数y = f(x)在点x0连续。

左连续、右连续的定义类似上面。

1.7.2 函数的间断点及其分类

y = f(x)如果不满足下列三个条件之一，则称函数y=f(x)在x0处不连续：

（1）在x0处没有定义；

（2）有定义但是极限不存在

（3）有定义，极限存在，但是不等于f(x0)

不连续的点x0称为不连续点或者间断点。

左右极限都存在的间断点称为第一类，不是第一类的间断点称为第二类。

可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点。

1.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性

（1）和、差、积、商连续

（2）复合函数及反函数连续

1.7.4 区间上连续函数的性质

（1）有界性与最大值最小值定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界。

（2）对于定义在区间I上的函数f(x)，如果存在x0∈I，使得对于任一x∈I，有f(x) <= f(x0)或f(x) >= f(x0)，则称f(x0)为区间I上的最大值或最小值，称点x0是区间I上的最值点。

（3）闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值。

（4）零点定理与介值定理

如果点x0，使f(x0)=0，那么称x0为函数f(x)的零点。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间(a,b)内至少存在一点x0，使得f(,0) = 0。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)不相等，那么f(a)与f(b)之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少存在一个点x0，使得f(x0) = C。

1.7.5 函数的一致连续性