清华机试-整数拆分

题目描述

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入描述:

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出描述:

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

示例1

输入

输出

解题思路

搬运一下思路：

记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：

f(2m + 1) = f(2m)，

f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，

初始条件：f(1) = 1。

证明:

证明的要点是考虑划分中是否有1。

记:

A(n) = n的所有划分组成的集合，

B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，

C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，

则有: A(n) = B(n)∪C(n)。

又记:

f(n) = A(n)中元素的个数，

g(n) = B(n)中元素的个数，

h(n) = C(n)中元素的个数，

易知: f(n) = g(n) + h(n)。

以上记号的具体例子见文末。

我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，

首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。

其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。

综上，f(2m + 1) = f(2m)。

接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，

把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。

把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。

综上，g(2m) = f(2m - 1)。

把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。

把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。

综上，h(2m) = f(m)。

所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。

这就证明了我们的递推公式。

代码

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
int dp[1000001];
 
int main()
{
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for(int i = 3;i <= 1000000;i++)
    {
        if(i % 2 == 0)
        {
            dp[i] = (dp[i / 2] + dp[i - 1]) % 1000000000;
        }
        else dp[i] = dp[i - 1] % 1000000000;
    }
    int n;
    cin >> n;
    cout << dp[n] << endl;
    return 0;
}