括号问题 【微软面试100题 第四十六题】

题目要求：

　　四对括号可以有多少种匹配排列方式？比如两对括号可以有两种：（）（）和（（））

题目分析：

　　之前左括号的数量必须比右括号多，即卡特兰数，

　　令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式，

　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)，

　　例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2，

　　h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5，

　　h(n)=C(2n,n)/(n+1)，

　　程序实现比较巧妙，参见具体代码。

代码实现：

　　

#include <iostream>
using namespace std;

#define N 3
int a[N];

void display()
{
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        cout<< '(';
        for (int j = 1; j <= a[i]; ++j)
            cout<< ')';
    }
    cout<<endl;
}
//有N 对括号，则 B函数主要求的是N个 ')'怎么与前面的'('搭配
//a[i] 表示对应某个位置的 ')'个数，如：()()表示 a[1] = 1,
//a[2] = 1;(()) 表示a[1] = 0,a[2] = 2； a[i]之和肯定等于N；
//但是不能是())(这样的，因为这里面 a[1] = 2了。即a[i]最多有 i个')' ，最少为个。
void B(int level, int sum, int &result)
{
    //level表示'('的个数
    if (level == N)
    {
        a[N] = N - sum;
        ++result;
        display();
    }
    else
    {
        //i+sum<=level表示此时的')'总数要 <='('的总数，不然不满足要求。
        for (int i = 0; i+sum<= level; ++i)
        {
            a[level] = i;
            B(level + 1, sum + i, result);
            a[level] = 0;
        }
    }
}

int main()
{
    int result = 0;
    B(1, 0, result);
    cout<<result<<endl;
    return 0;
}