[NOI2016] 循环之美

NOI2016 循环之美

首先要求数值互不相同，就相当于要求分子分母互质（不互质就会重复）

考虑怎么转化纯循环小数这个条件：

设 $\frac{x}{y}$ 循环节为 $l$ 位，这意味着 $\frac{x}{y}$ 向左平移 $l$ 位后，小数点后的部分不变，即：

$$xk^l\equiv x\bmod y$$

$x,y$ 互质，因此只要 $k,y$ 互质即可。

于是只需要求

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]$$

$$\begin{aligned} &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]\\ &=\sum_{j=1}^{m}[\gcd(j,k)=1]\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)\\ &=\sum_{d=1}^{n}[\gcd(d,k)=1]\mu(d)\sum_{j=1}^{m/d}\sum_{i=1}^{n/d}[\gcd(j,k)=1]\\ &=\sum_{d=1}^{n}[\gcd(d,k)=1]\mu(d)\lfloor\dfrac{n}{d}\rfloor\sum_{j=1}^{m/d}[\gcd(j,k)=1] \end{aligned}$$

这里可以整除分块了，考虑分别计算：

$$f(x)=\sum_{i=1}^{x}[\gcd(i,k)=1]\\ g(x,k)=\sum_{i=1}^{x}[\gcd(i,k)=1]\mu(i)$$

注意到 $k$ 非常小，因此 $\gcd(i,k)=\gcd(i\bmod k,k)$，我们只需要对 $1\sim k$ 中每个数 $x$ 维护 $g(x)$ 表示 $\le$ 该数的数中与 $k$ 互质的数的个数。再维护一个 $g(x)$ 的前缀和即可 $\mathcal O(1)$ 求解单个 $f$。

但是 $g$ 不行，因为 $\mu(i)\not=\mu(i+k)$，两者的关系很复杂。

$$\begin{aligned} g(x,k)&=\sum_{i=1}^{x}[\gcd(i,k)=1]\mu(i)\\ &=\sum_{i=1}^{x}\mu(i)\sum_{d|\gcd(i,k)}\mu(d)\\ &=\sum_{d|k}^{x}\mu(d)\sum_{i=1}^{x/d}\mu(id)\\ \end{aligned}$$

若 $\gcd(i,d)\not=1$ 则 $\mu(id)=0$，对答案没有贡献，因此当 $gcd(i,d)=1$，可以积性函数展开后面的 $\mu$。

$$\begin{aligned} g(x,k)&=\sum_{d|k}^{x}\mu^2(d)\sum_{i=1}^{x/d}\mu(i)[\gcd(i,d)=1]\\ &=\sum_{d|k}^{x}\mu^2(d)g(\frac{x}{d},d)\\ \end{aligned}$$

于是可以递归求解所有的 $g$，初始值 $g(x,1)=\sum_{i=1}^{x}\mu(i)$ 杜教筛即可。

复杂度 $\mathcal O(\sqrt{n}\sigma_0(k)+n^{\frac{2}{3}})$