Lyndon 分解

Lyndon 分解

以下所有字符串的大小关系都是对字符串字典序的比较。

定义串 $S$ 为 Lyndon 串当且仅当 $S$ 小于其所有不为 $S$ 的后缀。

该命题等架于 $S$ 是它的所有循环表示中最小的。

定义串 $S$ 的 Lyndon 分解为将 $S$ 分为若干部分 $S=w_1w_2\dots w_m$ 使得 $w_i$ 为 Lyndon 串且 $w_1\ge w_2\ge \dots \ge w_m$。

可以证明任何串 $S$ 的 Lyndon 分解存在且唯一。

---

证明这一点需要一个引理：

引理 1：若串 $u,v$ 为 Lydnon 串且 $u<v$，则 $uv$ 也为 Lyndon 串。

证明：

若 $|u|>|v|$：则 $v>uv$，那么 $v$ 的后缀依然 $>uv$，得证。

若 $|u|\le |v|$：若 $u$ 不为 $v$ 的前缀则 $v>uv$ 得证。否则，设 $v=ut$，有 $t<v$，与 $v$ 是 Lyndon 串矛盾

Lyndon 分解的存在性证明：

根据引理，不难得到一个 Lydnon 分解的构造方案：

初始令 $m=|S|,w_i=S_i$，显然这满足 $w_i$ 为 Lyndon 串的条件。接下来不断找到 $w_i<w_{i+1}$ 的位置，将 $w_i,w_{i+1}$ 合并到一起，得到的串依然是 Lyndon 串。

Lyndon 分解的唯一性证明：

设 $S$ 存在两个 Lyndon 分解：

$S=a_1a_2\dots a_{m_1}=b_1b_2\dots b_{m_2}$。

找到最小的 $i$ 使得 $a_i\not= b_i$，不妨设 $|a_i|>|b_i|$，设 $a_i=b_ib_{i+1}\dots pre(b_k,l)$，则有 $a_i<pre(b_k,l)\le b_k\le b_{i}\le a_i$，矛盾。

---

在讨论 Lyndon 分解的 $\mathcal O(n)$ 构造前，再给出引理：

引理 2：若字符串 $v$ 与字符 $c$，满足 $vc$ 是 Lyndon 串的前缀，则对于字符 $d>c$ 有 $vd$ 是 Lyndon 串。

证明：

设 $vct$ 为 Lyndon 串。则 $\forall i\in[2,|v|]$，$suf(v,i)ct>vct$，故 $suf(v,i)c\ge v$，$suf(v,i)d>v$，同时又有 $d>c\ge v$，故得证。

Duval 算法：

算法的每一时刻都将串 $S$ 分为三个部分 $s_1s_2s_3$，其中 $s_1$ 是已经确定的分解，$s_3$ 是未分解的部分，$s_2$ 是正在分解的部分，且 $s_2=t^h+v$，其中 $v$ 是 $t$ 的一个前缀，$t$ 是一个 Lyndon 串。

每一步将 $s_3$ 的第一个字母 $S_k$ 加入 $s_2$ 中，记 $j=k-|t|$：

• 当 $S_k=S_j$ 时：直接将 $S_k$ 加入 $s_2$ 中，性质不发生变化。

• 当 $S_k<S_j$ 时：直接将 $t^h$ 的分解方式确定下来，从 $v$ 的开头重新进行上述流程。

• 当 $S_k>S_j$ 时，$v+S_k$ 会得到新的 Lyndon 串，根据之前的 Lyndon 分解的构造方法，这个 Lyndon 串会不断向前合并，最终 $t^h+v+S_k$ 得到新的 Lyndon 串，成为新的 $s_2$。

据此就得到了 $\mathcal O(n)$ 求解 Lyndon 分解的方法。

洛谷模板题 P6114 代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e6+10;
char s[N]; 
int n,ans;
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	int i=1,j,k;
	while(i<=n){
		j=i,k=i+1;
		for(;k<=n&&s[k]>=s[j];++k)
			j=s[k]>s[j]?i:j+1;
		while(i<=j) ans^=i+k-j-1,i+=k-j;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}