[20191003机房测试] 太阳神

太阳神拉很喜欢最小公倍数，有一天他想到了一个关于最小公倍数的题目
求满足如下条件的数对(a,b)对数：
a,b 均为正整数且 a,b<=n 而lcm(a,b)>n
其中的 lcm 当然表示最小公倍数
答案对 1,000,000,007取模

数据范围是1e10的，打表找了半天规律发现没用……
那就莫比乌斯反演呗

题目求：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[lcm(i,j)> n] \]

但是大于的太多了，那我们就反过来求，最后用总的来减

也就是求：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[lcm(i,j)\leq n] \]

先把\(lcm\)拆开

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\dfrac{i·j}{gcd(i,j)}\leq n] \]

看到\(gcd\)，枚举 \(i,j\) 的约数 \(d\)

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\dfrac{i·j}{d}\leq n] \]

拉出去反演：

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i'=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}\sum_{j'=1}^{\lfloor{\frac{n}{i'·d}}\rfloor}[gcd(i',j')=1] \]

引入莫比乌斯函数：

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i'=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}\sum_{j'=1}^{\lfloor{\frac{n}{i'·d}}\rfloor}\mu(gcd(i',j')) \]

再枚举 \(i',j'\) 的约数 \(d'\)，继续反演

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{d'=1}^{\sqrt{\frac{n}{d}}}\mu(d')\sum_{i''=1}\sum_{j''=1}\lfloor{\frac{n}{d·d'^2i''}}\rfloor \]

把\(d'\)拿出来：

\[\sum_{d'=1}^{\sqrt{n}}\mu(d')[d·i''·j''\leq \frac{n}{d'^2}\text{的组数}] \]

然后就是求满足\(d·i''·j''\leq \frac{n}{d'^2}\)的三元组(d,i'',j'')的个数

这个可以\(\Theta(n^{\frac{2}{3}})\)算出来

就可以了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
#define M 100000
#define mod 1000000007
using namespace std;

ll n,ans,siz,sum,maxn,x;
ll mu[N],prime[N],primenum;
bool isprime[N];

template<class T>inline void read(T &res)
{
	char c;T flag=1;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;res=c-'0';
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0';res*=flag;
}

void init()
{
	mu[1]=1;
	for(register int i=2;i<=M;++i)
	{
		if(!isprime[i])
		{
			prime[++primenum]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(register int j=1;j<=primenum;++j)
		{
			if(i*prime[j]>M) break;
			isprime[i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j]))
			{
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

int main()
{
	freopen("ra.in","r",stdin);
	freopen("ra.out","w",stdout);
	read(n);
	init();
	siz=(ll)(sqrt(n)+0.5);
	for(register ll i=1;i<=siz;++i)
	{
		sum=0;
		maxn=n/i/i;
		for(register ll j=1;j*j*j<=maxn;++j)
		{ 
			for(register ll k=j;k*k<=maxn/j;++k)
			{
				x=(maxn/j/k-k+1);
				if(j==k) sum=(sum+1+(x-1)*3)%mod;
				else sum=(sum+3+(x-1)*6)%mod;
			}
		}
		sum%=mod;
		ans=(ans+mu[i]*sum)%mod;
	}
	ans=((n%mod)*(n%mod)-ans)%mod;
	while(ans<0) ans+=mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}
/*
10000000000
210705255
*/