实现多个堆的合并——左偏树学习笔记
在初学OI时,我们接触了一种数据结构,叫做堆。
众所周知的,我们可以使用 \(STL\) 的 \(priority\_queue\) 来快速地实现一个堆。
\[\tiny\text{如图,这就是一个普通的小根堆}
\]
利用 \(priority\_queue\) ,我们可以很方便地进行堆的添加,删除等操作。
然而,当题目需要你进行堆的合并时, \(priority\_queue\) 便不再那么适用了。因此我们需要学习一些新的算法——左偏树
左偏树是一种树形结构,储存了一个点的数值,左右儿子和距离(被定义为它子树中离他最近的外节点到这个节点的距离)
\[\tiny\text{如图,这是一个普通的左偏树}
\]
左偏树有以下几个性质:
-
节点的权值小于等于它左右儿子的权值
-
节点的左儿子的距离不小于右儿子的距离
-
节点的距离等于右儿子的距离+1
-
一个n个节点的左偏树距离最大为 \(\log{(n+1)}-1\)
可以看出,左偏树本身并不是平衡的,而是所有节点倒向左侧,即名字中的左偏(需要说明的是,左偏指的不是左右儿子的大小,因此如果左儿子是一个点,而右儿子是一条很长的链,那也是满足要求的左偏树)
概念到此为止,我们来考虑一下如何把两个堆合并
首先,我们只需要将堆2加入堆1倒数第二层的点的右儿子的左儿子,因此我们只看右儿子
然后将堆2变为堆1的左儿子
合并
还原到初始的状态
最后,由于所得堆不符合左偏树性质,交换左右儿子
至此,我们成功地将两个堆合并在了一起
用语言口胡一下以上过程,是这样的:
-
找到所需要的右儿子
-
将新堆变为右儿子的左儿子
-
找回原来的堆
-
如果不左偏,交换左右儿子
既然原理都明白,代码就很好实现了吧
#define lson tree[x].son[0]
#define rson tree[x].son[1]
struct LeftTree
{
int dis,v,son[2],root;
}tree[maxn];
inline void swap(int &x,int &y){x^=y^=x^=y;}
inline int merge(int x,int y)
{
if(!x||!y) return x+y;
if( tree[x].v>tree[y].v || (tree[x].v==tree[y].v && x>y) ) swap(x,y);//验证是否需要交换
rson=merge(rson,y);//递归右儿子
if(tree[lson].dis<tree[rson].dis) swap(lson,rson);//左边更浅就交换
tree[lson].root=tree[rson].root=tree[x].root=x;
tree[x].dis=tree[rson].dis+1;//树的深度为右儿子深度+1
return x;
}
inline void pop(int x)
{
tree[x].v=-1;//数值清空
tree[lson].root=lson;
tree[rson].root=rson;
tree[x].root=merge(lson,rson);
}
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