优化之法

 

背景

我要说的优化不是软件开发中的优化（降低空间和时间复杂度），而是一种意义更普遍的优化算法，是已知问题模型，如何寻找最优解的方法，已知能量函数（也叫代价函数）求全局最小值，恰如图中所示。优化算法是如此的普遍，机器学习中的线性回归，计算机视觉中的特征匹配，立体视觉和三维重建。又是如此的种类繁多，局部的和全局的，连续的和离散的，一阶的和二阶的。实现复杂的优化算法是会让人抓狂的，像什么L-BFGS即便是Andrew Ng这样的风云人物也是过了若干年以后才有所领悟。梯度下降虽然简单，但实现它也有很多技巧。

 

选择

    基于梯度的算法还有最速下降，牛顿法，高斯牛顿，阻尼牛顿，共轭梯度，随机梯度下降，大名鼎鼎的LM（列文伯格马奎尔特）。如果你不了解这些算法的原理和特点，很容易会迷失在这些稀奇古怪的名字中。我了解到的原则是，当能量函数的梯度可求时用基于梯度的方法，这时LM往往是最好的选择。因为LM实际上是梯度下降和牛顿下降的完美合体。当能量函数不平滑时，这些算法很容易收敛于局部最小，如图中卡在半山腰的小球。需要应用一些全局搜索策略，比如线性搜索。或者在代价函数中加入扰动，像随机梯度下降法所做的那样。除此外，还应兼顾时间，精度和鲁棒性。

 

实现

    如果有人问我：对于自己实现一种优化算法，你有何建议？我的回答是：你最好别这样做，用现成的库，因为这里面诡计多端，是一个苦活累活。如果非得自己写，掌握那些基本的技巧和调试方法是必不可少的。我在课题中使用随机梯度下降法，因此以它为例子介绍。题目是：基于统计学模型的3D人脸重建。它有两个输入：一是输入照片（2D），二是统计学模型（3D）。借助于计算机图形学把统计学模型投影成2D照片，输入照片和模型照片的像素平法差作为能量函数，应用随机梯度下降法优化之。能量函数的形式千差万别，本例中形式如下。

 

正如其名，这个算法的核心是随机的计算梯度。具体说就是随机的选择40个像素点，基于这些点计算能量函数的梯度，也就是求解每个变量的偏导，或许用到链条法则视情况而定。求导是最基本的也是最重要的一步，出错一切都是白费，除了细心求解反复验证以外没有更好的办法了。真正重要的是调试技巧：怎样选择一个合适的学习曲率（下图中的lambda）？怎样验证算法是否有效？

取不同的学习曲率lambda，典型的取值[0.001,0.003,0.01,0.03,0.1,0.3,1,3,10]。绘制能量函数随迭代次数变化之曲线。假如像下面左图的形状，说明算法收敛，lambda选择合适。如果能量函数曲线一路飙升，或者上下起伏不定，像下面中右图的形状，说明lambda大了。选择更小的lambda，竭尽全力的左倾。

 

有时候纵使选择了合适的lambda，最终结果也不见得好。很可能是因为模型不准导致过拟合和欠拟合，或者叫做高方差和高偏差的问题。同样的还是通过绘制曲线来解决，这条曲线叫做学习曲线（learning cure）。这时候在能量函数中引入正则项，下面公式后三项。

 

特别的把数据分成3类：训练集，验证集，测试集。具体做法是：1）用没有正则项的代价函数在训练集上优化模型参数。2）使用优化的模型参数在验证集上求函数值。3）使用优化的模型参数在测试集上函数值。4）绘制学习曲线。学习曲线揭示了模型的本质特征，对于高偏差的情况增加训练数据徒劳无益，对高方差的情况却有所成效。更多细节参考Andrew ng的机器学习https://www.coursera.org/course/ml，它是我的想法之源。