概率论与数理统计

随机事件和概率

P(B/A) = P(AB)/P(A)

条件概率

• **A发生的条件下，B发生的概率称为条件概率，记为P(B|A), **

• 当P(A) ≠ 0, P(B|A) = p(AB)/P(A)

题眼：

• A发生的条件下，B……的概率
• 已知A发生或出现时，B……的概率

常见分布

正态分布

分布表

分布表	表达式	期望	方差
0-1分布	\(P_i=P({X=i})=p^iq^{n-i},(i=0,1)\)(p+q=1)	\(p\)	\(pq\)
二项分布B(n,p)	$ P_i=P({X=i})=Ci_npiq^{n-i},(i=0,1,2,3...)$ (p+q=1)	\(np\)	\(npq\)
泊松分布P\((\lambda)\)	\(P_i=P({X=i})=\frac{\lambda ^i}{i!}e^{-\lambda},(i=0,1,2,3...)\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)
指数分布E($\lambda $)	\(f(x)=\begin{cases}λe^{−λx},&x>0 \\0,&x\leq0\end{cases}\)	\(\frac{1}{\lambda}\)	\(\frac{1}{\lambda^2}\)
几何分布G(p)	\(P_i=P({X=i})=p(1-p)^{i-1},(i=0,1,2,3...)\)	$$ \frac{1}{p}$$	$$\frac{1-p}{p^2}$$
均匀分布U(a,b)	$$ f(x) = \begin{cases}\frac{1}{b-a},&a\leq x\leq b \0, &其他\end{cases}$$	$$ \frac{a+b}{2}$$	$$ \frac{(b-a)^2}{12}$$
超几何分布H(n,M,N)	$$P_i=P{(X=i)}=\frac{C_MiC_{N-M}{n-i}}{C_N^n},(i=0,1,2,3...min(n,M))$$	$$ n\frac{M}{N}$$	\(n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}\)
正态分布N(\(\mu,\sigma^2\))	$$ f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e{-\frac{(x-u)2}{2 \sigma ^2}},(-\infty <x <+\infty)$$	$\mu $	\(\sigma ^2\)
\(\chi^2\)分布\(\chi^2(k)\)	$$f(x) =\begin{cases}\frac{1}{2{k/2}\Gamma(\frac{k}{2})}xe^{-x/2},&x>0\0,&x\leq0\end{cases}$$	k	2k

多维随机变量函数的分布

• 独立连续随机变量的联合概率密度等于它们边缘概率密度的乘积

  \(f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)\)

---

• 已知\((x,y) 服从 f(x,y), Z = G(x,y)\)，求Z的分布

  法一（分布函数法）

  ---

  • 写出分布函数的定义，代入G（X,Y)

    \(F_Z(z) = P \{ Z\leq z\} = P\{X + Y \leq z\}\)

  • 讨论G（X,Y)的取值范围，非0的范围，能取值的范围

    画图

    对z的取值分段讨论，F(Z) = 0; F(Z) = 1

  • \(G(x,y) \leq z\) 函数在面积范围内的情况

    二重积分，得到分布函数

  • 分布函数F(z) 求导得到概率密度 f(z)

  法二（推广的卷积公式）\ (公式法)

  ---

  • (x,y) ~ f(x,y)

  • $z = g(x,y) → y = h(x ,z) $

    根据 $Z = X + Y \Longrightarrow z = x + y $

    反解出 y = z - x（或者x = z -y也行）

  • \(f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,h(x,z)\cdot |\frac{\partial h(x,z)}{\partial z}| dx\)

  

距估 计

用样本的距估计代替

• 求总体X的数学期望EX

  得到含θ的期望值

• 用样本均值\(\bar X\) 估计数学期望EX \(\bar X\) =EX

  解出用Xbar表示的θ

最大似然估计

区间估计

总体X分布已知，但含未知参数θ

• \(\alpha\) 小概率
• P{ \(\theta \in (? ,?)\) } = 1 - α -----置信区间
• ( ?, ? )是θ的置信度为1 - α 的置信区间
• 在给定分布和置信水平情况下,求参数区间

• 总体 X ~ N(μ，\(\sigma^2\))

  • 只考正态总体

  • 它只有两个参数

  • 求法

    1. 选枢轴量

       选择合适的枢轴量

    2. 求临界值

       查表看在值为1-α时, \(\Phi(Z_{\frac{\alpha}{2}})\) , \(Z_{\frac{\alpha}{2}}\) 的值是多少

    3. 解不等式

       把查到的值代入统计量P的计算公式中,解出对应区间

  • 总结

    • 关键是记住不同情况下,该取哪一种枢轴量

μ 的区间估计

σ 已知

• 服从标准正态分布
• 枢轴量 : $U = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/ \sqrt n} $ ~ N(0,1)

σ 未知

• 服从 t 分布
• 枢轴量 : $T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/ \sqrt n} $ ~ t(n-1)

\(\sigma^2\) 的区间估计

μ 已知

• 服从卡方分布 ~\(\Chi^2\)(n)
• 枢轴量 : $\Chi^2 = \frac{1}{\sigma^2}\Sigma_{i = 1}^{n} (x_i - \mu)^2 $ ~ \(\Chi^2(n)\)

μ 未知

• 服从服从卡方分布 ~\(\Chi^2\)(n-1)
• 枢轴量 : $\Chi^2 = \frac{1}{\sigma^2}\Sigma_{i = 1}^{n} (x_i - \bar{X})^2 $ ~ \(\Chi^2(n-1)\)