最小生成树(Prim算法和Kruskal算法)

Prim算法：

设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。

①、把v0放入U。

②、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。

③、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行②。

其算法的时间复杂度为O(n^2)

 

#define MAXN
bool flag[MAXN];
double graph[MAXN][MAXN];	// graph[i][j] 表示节点i到j的距离

double Prim(int n)	// 一共n个节点
{
	int i, j, k;
	double t, lowcase[105], ans = 0;
	for (i = 2; i <= n; i++)
		lowcase[i] = graph[1][i], flag[i] = false;
	flag[1] = true;

	for (i = 1; i < n; i++)
	{
		k = 1;
		t = INF;
		for (j = 2; j <= n; j++)
			if (!flag[j] && lowcase[j] < t)
				k = j, t = lowcase[j];
		
		ans += t;
		flag[k] = true;

		for (j = 1; j <= n; j++)
			if (!flag[j] && graph[k][j] < lowcase[j])
				lowcase[j] = graph[k][j];
	}

	return ans;
}

 

 

Kruskal算法：

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

 

// 并查集
class UFSet
{
	int n;
	int *root;

public:
	~UFSet();
	UFSet(int n);
	int Find(int x);
	void Merge(int x, int y);
}*ufset;

UFSet::UFSet(int n)
{
	this->n = n;
	root = new int[n+1];

	for (int i = 0; i < n; i++)
		root[i] = i;
}

UFSet::~UFSet()
{
	delete[] root;
}

int UFSet::Find(int x)
{
	int t, r = root[x];
	while (root[r] != r) r = root[r];
	while (root[x] != r) // 路径压缩
	{
		t = root[x];
		root[x] = r;
		x = t;
	}
	return r;
}

void UFSet::Merge(int x, int y)
{
	int fx = Find(x);
	int fy = Find(y);
	if (fx != fy) root[fx] = fy;
}

// 边
struct Edge
{
	int left;
	int right;
	double dis;

	bool operator < (const Edge& e) const
	{
		return dis < e.dis;
	}
	bool operator > (const Edge& e) const
	{
		return dis > e.dis;
	}
}e;

// 边集合
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge> > pq;

double Kruskal(int n)
{
	double ans = 0;

	while (!pq.empty())
	{
		e = pq.top();
		pq.pop();
		int fx = ufset->Find(e.left);
		int fy = ufset->Find(e.right);
		if (fx != fy)
		{
			ufset->Merge(e.left, e.right);
			ans += e.dis;
		}
	}
	
	return ans;
}

 

 

PKU题目：

pku2560(最小生成树Prim)：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2560

pku3625(最小生成树Kruskal)：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3625