BZOJ4652 NOI2016 循环之美

Problem

BZOJ

Solution

省选之后咕咕了很久，因为省选考得比较烂不想写游记，最近又没做什么题。赶在4月结束前发骗博客吧……

考虑如果 \(\frac a b\) 是 \(k\) 进制下的纯循环小数，我们知道余数必须要有循环，且第一位也要在循环节内，那么必存在 \(x\) 使得 \(ak^x\equiv a\pmod b\)

则 \(k^x\equiv 1 \pmod b\)，有解的条件是 \(\gcd(k,b)=1\)

\[ans=F(n,m,k)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1] \]

\[F(n,m,k)=\sum_{j=1}^m[(j,k)=1]\sum_{i=1}^n[(i,j)=1] \]

\[=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m/d}[(i,jd)=1] \]

\[=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^n[(i,d)=1]\sum_{j=1}^{m/d}[(i,j)=1]=\sum_{d|k}\mu(d)F(m/d,n,d) \]

数论分块之，然后对 \(F\) 进行暴力递归计算即可

边界条件是 \(n=0||m=0\) 时返回 \(0\)，以及 \(k=1\) 时：

\[F(n,m,1)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)=1]=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\mu(d)\frac n d\frac m d \]

把 \(\mu\) 的前缀和以及 \(F\) 分别进行记忆化即可，可能需要注意卡常。

时间复杂度很奇怪，我并不会证明

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000000,M=500000,P=999917,INF=1e9;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
struct data{
	int n,m,k;
	bool operator == (const data &b)const{return n==b.n&&m==b.m&&k==b.k;}
	int operator % (const int &b)const{return (n*1000000009ll+m*879121319ll+k)%b;}
};
struct Hasha{
	int p,head[P],nxt[M],w[M],to[M];
	void ins(int u,int v){to[++p]=v;nxt[p]=head[u];w[p]=-INF;head[u]=p;}
	int& operator [] (int y)
	{
		int x=y%P;
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]==y) return w[i];
		ins(x,y);return w[p];
	}
}ma;
struct Hashb{
	int p,head[P],nxt[M];ll w[M];data to[M];
	void ins(int u,data v){to[++p]=v;nxt[p]=head[u];w[p]=-1ll;head[u]=p;}
	ll& operator [] (data y)
	{
		int x=y%P;
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]==y) return w[i];
		ins(x,y);return w[p];
	}
}mb;
int n,m,k,tot,pri[N+10],mu[N+10],vis[N+10];
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
void init()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
		{
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
int S(int n)
{
	if(n<=N) return mu[n];
	int &res=ma[n];
	if(res!=-INF) return res;
	res=1;
	for(int i=2,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);
		res-=(j-i+1)*S(n/i);
	}
	return res;
}
ll F(int n,int m,int k)
{
	if(n==0||m==0) return 0ll;
	if(k==1)
	{
		if(n>m) swap(n,m);
		data hs=(data){n,m,k};ll &res=mb[hs];
		if(~res) return res;
		res=0ll;
		for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
		{
			j=min(n/(n/i),m/(m/i));
			res+=(ll)(S(j)-S(i-1))*(n/i)*(m/i);
		}
		return res;
	}
	data hs=(data){n,m,k};ll &res=mb[hs];
	if(~res) return res;
	int t;res=0ll;
	for(int i=1;i*i<=k;i++)
	  if(k%i==0)
	  {
	  	t=k/i;res+=(mu[i]-mu[i-1])*F(m/i,n,i);
	  	if(i*i!=k) res+=(mu[t]-mu[t-1])*F(m/t,n,t);
	  }
	return res;
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	init();
	read(n);read(m);read(k);
	printf("%lld\n",F(n,m,k));
	return 0;
}