二次剩余杂记

二次剩余

参考资料一
参考资料二

对于\(x\)和\(p\)如果存在\(a\in(0,p)\)，满足\(a^2\equiv x \pmod p\)，则称x为模\(p\)的二次剩余。

在这里，我们暂时只讨论\(p\)为奇素数的情况。

有一个性质，二次剩余与非二次剩余的个数均为\(\frac {p-1} 2\)。如果\(p\)的原根为\(g\)，那么\(g\)的偶数次幂显然都是二次剩余，一共有\(\frac {p-1} 2\)个，所有它恰好表示了所有的二次剩余。

勒让德符号

\[\biggl( \frac a p \biggr)= \left\{\begin{matrix} 1 \ &若a是模p的二次剩余 \\ -1 \ &若a是模p的二次非剩余 \end{matrix}\right. \]

欧拉准则

\[a^{\frac {p-1}2}\equiv \biggl( \frac a p\biggr) \pmod p \]

特殊模数的二次剩余快速求法

参考资料

当\(p\equiv 3\pmod 4\)时\(x\equiv\pm a^{\frac {p+1} {4}}\pmod p\)
由此我们可以推荐一些模数如\(300007,10^9+7\)。