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2020年9月26日
复旦大学2019--2020学年第二学期（19级）高等代数II期末考试第七大题解答
摘要： 七、(10分) 设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB=0$ 且 $\mathrm{tr}(A^*)=0$, 证明: $A^*B=0$. 证明 我们给出四种不同的证法. 证法 1 (线性方程组求解理论) 若 $A$ 非异, 则 $B=0 阅读全文
posted @ 2020-09-26 17:27 torsor 阅读(2491) 评论(0) 推荐(0) 编辑
复旦大学2019--2020学年第二学期（19级）高等代数II期末考试第八大题解答
摘要： 八、(10分) 设 $n$ 阶复方阵 $M$ 的全体特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 则 $M$ 的谱半径 $\rho(M)$ 定义为 $\rho(M)=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|$. 设 $A 阅读全文
posted @ 2020-09-26 13:25 torsor 阅读(2174) 评论(0) 推荐(2) 编辑
2020年8月27日
可对角化的其他判定准则及其应用
摘要： 矩阵或线性变换的可对角化判定是高等代数的重要知识点. 由于判定准则多, 技巧性强, 故可对角化判定一直是教学和考试中的难点. 一般来说, 判定 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换 $\varphi$ (或 $n$ 阶复矩阵 $A$) 可对角化, 通常有以下六种方法 (参考复旦高代教材的第六章 阅读全文
posted @ 2020-08-27 17:11 torsor 阅读(5414) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2020年8月21日
反对称阵相关性质的总结
摘要： 设 $M$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵, 则有如下的分解: $$M=\frac{1}{2}(M+M')+\frac{1}{2}(M-M'),$$ 其中 $A=\dfrac{1}{2}(M+M')$ 是 $n$ 阶对称阵 (称为 $M$ 的对称化), $S=\dfrac{1 阅读全文
posted @ 2020-08-21 10:53 torsor 阅读(6630) 评论(0) 推荐(3) 编辑
2020年3月1日
复旦高等代数II（19级）每周一题
摘要： 本学期的高等代数每周一题活动计划从第1教学周开始，到第16教学周结束，每周的周末公布一道思考题（共16道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程19级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将 阅读全文
posted @ 2020-03-01 12:42 torsor 阅读(7864) 评论(5) 推荐(4) 编辑
2020年2月22日
复旦大学高等代数习题课在线课程
摘要： 复旦大学高等代数习题课在线课程以高等代数中的重要思想、方法和技巧为主题，精心讲解高等代数中的典型例题。这些例题取自复旦大学高等代数学习方法指导书（又称高代白皮书）第三版，复旦大学高等代数每周一题、期中和期末考试大题，以及全国大学生数学竞赛试题等。本习题课在线课程分成两个部分，分别是高等代数I（36讲 阅读全文
posted @ 2020-02-22 10:51 torsor 阅读(4598) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2020年2月8日
复旦大学数学学院19级高等代数I期中考试第六大题的三种证法及其延拓
摘要： 矩阵秩的估计 (等式或不等式的证明) 是高等代数教学中的一个难点, 我们通常有以下三种方法, 分别是: (i) 从矩阵秩的基本等式和不等式出发, 利用矩阵的初等变换来处理 (参考高代白皮书第 3.2.6 节第 1 部分); (ii) 利用线性方程组的求解理论来处理 (参考高代白皮书第 3.2.6 节 阅读全文
posted @ 2020-02-08 15:22 torsor 阅读(3522) 评论(0) 推荐(3) 编辑
2020年2月7日
复旦大学数学学院19级高等代数I期中考试第七大题的三种证法及其推广
摘要： 矩阵非异性的判定是高等代数教学中的一个重点. 一般来说, 判定非异矩阵的常见方法有五种, 分别是: (i) 行列式的计算 (参考高代白皮书第 1 章); (ii) 凑因子法 (参考高代白皮书第 2.2.3 节); (iii) 线性方程组求解理论的应用 (参考高代白皮书第 3.2.6 节的第 2 部分 阅读全文
posted @ 2020-02-07 17:30 torsor 阅读(5823) 评论(0) 推荐(3) 编辑
2020年2月6日
复旦大学数学学院18级高等代数II期中考试第五大题的三种证法及其推广
摘要： 第五大题 设 $A_1,\cdots,A_n$ 为两两乘法可交换的 2019 阶实方阵, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 元实系数多项式. 令 $B=f(A_1,\cdots,A_n)$, 证明: 存在 $B$ 的某个特征值 $\lambda_0$, 使得方程 $f(x_1,\c 阅读全文
posted @ 2020-02-06 19:32 torsor 阅读(2930) 评论(0) 推荐(1) 编辑
复旦大学数学学院18级高等代数II期中考试第六大题解答
摘要： 第六大题 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: $A$ 不可对角化当且仅当存在一元多项式 $f(x)$, 使得 $f(A)$ 非零, $I_n+f(A)$ 可逆, 并且 $(I_n+f(A))^{-1}$ 与 $I_n-f(A)$ 相似. 证明 先证必要性. 考虑 $A$ 的 Jordan-C 阅读全文
posted @ 2020-02-06 10:57 torsor 阅读(1494) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2020年2月5日
复旦大学数学学院18级高等代数II期中考试第七大题的三种证法及其推广
摘要： 第七大题 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: 存在复数 $c_1,\cdots,c_{n-1}$, 使得 $$A-c_1e^A-c_2e^{2A}-\cdots-c_{n-1}e^{(n-1)A}$$ 是可对角化矩阵. 本题是复旦大学数学学院 18 级高等代数 II 期中考试的第七大题, 虽 阅读全文
posted @ 2020-02-05 17:01 torsor 阅读(2480) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2020年1月17日
复旦大学2019--2020学年第一学期高等代数I期末考试情况分析
摘要： 一、期末考试成绩班级前十名的同学 钱东箭(89)、陈志恒(89)、厉茗(89)、叶晨(88)、金李洋(88)、曹文景(87)、陈河(87)、金雍奇(87)、刘子为(87)、盛志轩(87) 二、总评成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定。数学学院原有学生本学期共交作业13次，10次以上（包括10次 阅读全文
posted @ 2020-01-17 10:13 torsor 阅读(3952) 评论(0) 推荐(1) 编辑
2020年1月16日
复旦大学2019--2020学年第一学期（19级）高等代数I期末考试第六大题解答
摘要： 六、(10分) 设 $n\,(n>1)$ 阶方阵 $A$ 满足: 每行元素之和都等于 $c$, 并且 $|A|=d\neq 0$. 试求 $A$ 的所有代数余子式之和 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$. 解法一 (矩阵性质) 设 $\alpha=(1,1,\cdots,1) 阅读全文
posted @ 2020-01-16 23:33 torsor 阅读(2549) 评论(0) 推荐(0) 编辑
复旦大学2019--2020学年第一学期（19级）高等代数I期末考试第七大题解答
摘要： 七、(10分) 设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $V=U\oplus W$, 其中 $U,W$ 都是 $\varphi$-不变子空间. 证明: (1) 对任意的正整数 $k$, $\varphi^{-k}(U):=\{v\in V\mid \va 阅读全文
posted @ 2020-01-16 20:27 torsor 阅读(2842) 评论(0) 推荐(0) 编辑
复旦大学2019--2020学年第一学期（19级）高等代数I期末考试第八大题解答
摘要： 八、(10分) 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n\,(n>1)$ 阶实对称阵, 满足: 每行元素之和都等于零, 并且非主对角元素都小于等于零. 设指标集 $\Gamma=\{1,2,\cdots,n\}$, 两个指标 $i\neq j$ 称为连通的, 如果存在一列指标 $i=i_1,i_2,\ 阅读全文
posted @ 2020-01-16 10:17 torsor 阅读(2962) 评论(0) 推荐(1) 编辑
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