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[问题2014S14] 解答首先, 满足条件的 \(\varphi\) 的全体特征值都为零. 事实上, 任取\(\varphi\) 的特征值 \(\lambda\), 对应的特征向量为 \(0\neq\xi\in V\),即 \(\varphi(\xi)=\lambda\xi\),则由假设可得 \[... 阅读全文
posted @ 2014-06-07 14:43
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[问题2014S15] 设 \(O\) 为 \(n\) 阶正交阵，\(A=\mathrm{diag}\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\) 为实对角阵, 证明: 方阵 \(OA\) 的特征值 \(\lambda_j\) 适合不等式: \[m\leq |\lambda_j|\leq M,\,... 阅读全文
posted @ 2014-05-31 19:55
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[问题2014S13] 解答(1) 先证必要性：若 \(A=LU\)是 非异阵 \(A\) 的 \(LU\) 分解，则 \(L\) 是主对角元全部等于 1 的下三角阵，\(U\) 是主对角元全部非零的上三角阵. 由 Cauchy-Binet 公式知 \[|A_k|=|L_k|\cdot|U_k|=|... 阅读全文
posted @ 2014-05-31 17:09
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[问题2014S14] 设 \(V\) 为酉空间, 证明: 不存在 \(V\) 上的非零线性变换 \(\varphi\), 使得对 \(V\) 中任一向量 \(v\) 均有 \[(\varphi(v),v)=0.\]注 本题是复旦高代教材 P326 习题 9.1.5 的推广. 阅读全文
posted @ 2014-05-25 17:28
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[问题2014S12] 解答先证明一个简单的引理.引理 设 \(B\) 为 \(n\) 阶半正定 Hermite 阵, \(\alpha\) 为 \(n\) 维复列向量, 若 \(\overline{\alpha}^TB\alpha=0\), 则 \(B\alpha=0\).引理的证明 由假设存在 ... 阅读全文
posted @ 2014-05-25 17:09
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[问题2014S11] 解答我们先引用一下复旦高代书 P310 的习题 6, 其证明可参考白皮书 P257 的例 8.33：习题6 设实二次型 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=y_1^2+\cdots+y_k^2-y_{k+1}^2-\cdots-y_{k+s}^2\), 其中 \(... 阅读全文
posted @ 2014-05-17 14:33
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[问题2014S13] (1) 设 \(A\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 若存在主对角元全为 \(1\) 的下三角阵 \(L\in M_n(\mathbb{K})\) 以及上三角阵 \(U\in M_n(\mathbb{K})\) 使得 \(A=LU\), ... 阅读全文
posted @ 2014-05-17 14:00
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[问题2014S10] 解答先证明一个简单的引理.引理 设 \(\lambda_0\) 是 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的特征值, 则对任意的正整数 \(k\), Jordan 块 \(J_k(\lambda_0)\) 在 \(A\) 的 Jordan 标准型 \(J\) 中出现的个数为 \[\... 阅读全文
posted @ 2014-05-10 16:42
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[问题2014S12] 设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是正实数. [公告] 关于本学期复旦高等代数II（13级）每周一题，新题的公布到第 阅读全文
posted @ 2014-05-10 14:21
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[问题2014S09] 解答充分性: 先证明对 Jordan 块 \(J_r(1)\) 以及任意的正整数 \(m\), 均有 \(J_r(1)^m\) 相似于 \(J_r(1)\). 设 \(N=J_r(0)\), 则 \(J_r(1)=I+N\).从而 \[J_r(1)^m=(I+N)^m=I+m... 阅读全文
posted @ 2014-05-04 12:10
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[问题2014S11] 设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶实对称阵, \(p(A),p(B),p(A+B)\) 分别为 \(A,B,A+B\) 的正惯性指数, 证明: \[p(A)+p(B)\geq p(A+B).\] 阅读全文
posted @ 2014-05-03 14:40
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[问题2014S08] 解答 (此解答由徐昊宸同学和鹿彭同学提供)设 \(P_1(\lambda),P_2(\lambda),Q_1(\lambda),Q_2(\lambda)\) 为可逆 \(\lambda\)-矩阵, 使得 \[P_1(\lambda)(\lambda I_m-A_1)Q_1(\... 阅读全文
posted @ 2014-04-26 13:44
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[问题2014S10] 设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵, 证明: \(AB\) 与 \(BA\) 相似的充分必要条件是 \[\mathrm{rank}\big((AB)^i\big)=\mathrm{rank}\big((BA)^i\big),\, i=1,2,\cdots,n-1.\]... 阅读全文
posted @ 2014-04-26 09:17
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[问题2014S07] 解答 (本解答由沈启帆同学提供)由复旦高代教材 P265 引理 7.4.1 知 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 的不变因子组为 \[1,\cdots,1,P_i(\lambda)^{e_i}.\] 因此分块对角阵 \(F=\mathrm{diag}\{F(... 阅读全文
posted @ 2014-04-19 14:28
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[问题2014S09] 证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{diag}\{ J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0 \}.\... 阅读全文
posted @ 2014-04-19 08:27
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