谢启鸿高等代数官方博客

摘要： [问题2014A10] 解答考虑如下变形:\[(I_n-A)^2=(AA'-A)(I_n-A)=A(A'-I_n)(I_n-A)=-A(I_n-A)'(I_n-A).\] 因为 \(A\) 是非异阵, 故 \[\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big)=\mathrm{rank... 阅读全文

摘要： [问题2014A12] 设 \(A,B\) 是 \(n\) 阶方阵且满足 \(AB=BA=0\), \(\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(A^2)\), 证明: \[\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B).\]提示 利用复旦高代书第 2... 阅读全文

摘要： [问题2014A09] 解答通过简单的计算可得 \[(AB)^2=9AB,\cdots\cdots(1)\] 将(1) 式的右边移到左边, 并将 \(A,B\) 分别提出可得 \[A(BA-9I_2)B=0.\cdots\cdots(2)\] 下面给出两种方法来讨论.方法一 通过简单的计算可得 \(... 阅读全文

摘要： [问题2014A11] 设 \(n\) 阶方阵 \(A,B\) 满足: \((A+B)^2=A+B\), \(\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)\), 证明: \[A^2=A,\,\,B^2=B,\,\,AB=BA=0.\] 阅读全文

摘要： [问题2014A08] 解答由假设知 \(f(A)=\mathrm{tr}(AA')\), 因此 \[f(PAP^{-1})=\mathrm{tr}(PAP^{-1}(P')^{-1}A'P')=\mathrm{tr}((P'P)A(P'P)^{-1}A')=\mathrm{tr}(AA').\cd... 阅读全文

摘要： [问题2014A10] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵满足 \(AA'=I_n\) (即 \(A\) 为\(n\) 阶正交阵), 证明: \[\mathrm{rank}(I_n-A)=\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big).\]注 请不要用高代 II 中正交阵的正... 阅读全文

摘要： [问题2014A07] 解答 我们分三步进行证明. \(1^\circ\) 先证 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关. 用反证法, 设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性相关, 我们来推出矛盾. 因为 \(\alpha_1\neq 0\), 故 \(\alpha_2\ 阅读全文

摘要： [问题2014A09] 设 \(A,B\) 分别是 \(3\times 2\), \(2\times 3\) 矩阵且满足\[AB=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix},\] 试求 \(BA\). 阅读全文

摘要： [问题2014A08] 设 \(A=(a_{ij})\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶方阵, 定义函数 \[f(A)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2.\] 设 \(P\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 满足: 对任意的... 阅读全文

摘要： [问题2014A06] 解答用反证法, 设存在 \(n\) 阶正交阵 \(A,B\), 使得 \[A^2=cAB+B^2,\,\,c\neq 0.\cdots(1)\]在 (1) 式两边同时左乘 \(A'\) 且右乘 \(B'\), 注意到\(A,B\) 都是正交阵,可得 \[AB'=cI_n+A'... 阅读全文

摘要： [问题2014A07] 设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 阶方阵, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 维列向量, 满足: \[ A\alpha_1=\alpha_2,\,\,A... 阅读全文

摘要： [问题2014A05] 解答(1) 将矩阵 \(A\) 分解为两个矩阵的乘积:\[A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n & x \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdo... 阅读全文

摘要： [问题2014A04] 解答(1) 由条件可得 \(AB+BA=0\), 即 \(AB=-BA\),因此\[AB=A^2B=A(AB)=A(-BA)=-(AB)A=-(-BA)A=BA^2=BA,\] 从而 \(AB=BA=0\).(2) 由条件可得 \(0=B(AB)^kA=(BA)^{k+1}\... 阅读全文

摘要： [问题2014A06] 若 \(n\) 阶实方阵 \(A\)满足 \(AA'=I_n\), 则称为正交矩阵. 证明: 不存在\(n\) 阶正交矩阵 \(A,B\) 满足 \(A^2=cAB+B^2\),其中 \(c\) 是非零常数. 阅读全文

摘要： [问题2014A03] 解答注意到 \((A^*)^*\) 的第 (1,1) 元素是 \(A^*\) 的第(1,1) 元素的代数余子式, 即为\[\begin{vmatrix} A_{22} & A_{32} & \cdots & A_{n2} \\ A_{23} & A_{33} & \cdots... 阅读全文