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[问题2014A12] 解答将问题转换成几何的语言: 设 \(\varphi,\psi\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换, 满足 \(\varphi\psi=\psi\varphi=0\), \(\mathrm{r}(\varphi)=\mathrm{r}(\varphi^2... 阅读全文
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[问题2014A11] 解答我们需要利用以下关于幂等阵判定的结论，它是复旦高代书第 142 页的例 3.6.4:结论 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, 则 \(A^2=A\) 当且仅当 \(\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(I_n-A)=n\).由题中两个条件和上述结论可得\... 阅读全文
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[问题2014A13] 设 \(V\) 是数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的幂零线性变换且满足 \(\mathrm{r}(\varphi)=n-1\), 求证: \(V\) 是关于线性变换 \(\varphi\) 的循环空间, 即存在向量 ... 阅读全文
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[问题2014A10] 解答考虑如下变形:\[(I_n-A)^2=(AA'-A)(I_n-A)=A(A'-I_n)(I_n-A)=-A(I_n-A)'(I_n-A).\] 因为 \(A\) 是非异阵, 故 \[\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big)=\mathrm{rank... 阅读全文
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[问题2014A12] 设 \(A,B\) 是 \(n\) 阶方阵且满足 \(AB=BA=0\), \(\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(A^2)\), 证明: \[\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B).\]提示 利用复旦高代书第 2... 阅读全文
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[问题2014A09] 解答通过简单的计算可得 \[(AB)^2=9AB,\cdots\cdots(1)\] 将(1) 式的右边移到左边, 并将 \(A,B\) 分别提出可得 \[A(BA-9I_2)B=0.\cdots\cdots(2)\] 下面给出两种方法来讨论.方法一 通过简单的计算可得 \(... 阅读全文
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[问题2014A11] 设 \(n\) 阶方阵 \(A,B\) 满足: \((A+B)^2=A+B\), \(\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)\), 证明: \[A^2=A,\,\,B^2=B,\,\,AB=BA=0.\] 阅读全文
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[问题2014A08] 解答由假设知 \(f(A)=\mathrm{tr}(AA')\), 因此 \[f(PAP^{-1})=\mathrm{tr}(PAP^{-1}(P')^{-1}A'P')=\mathrm{tr}((P'P)A(P'P)^{-1}A')=\mathrm{tr}(AA').\cd... 阅读全文
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[问题2014A10] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵满足 \(AA'=I_n\) (即 \(A\) 为\(n\) 阶正交阵), 证明: \[\mathrm{rank}(I_n-A)=\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big).\]注 请不要用高代 II 中正交阵的正... 阅读全文
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[问题2014A07] 解答 我们分三步进行证明. \(1^\circ\) 先证 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关. 用反证法, 设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性相关, 我们来推出矛盾. 因为 \(\alpha_1\neq 0\), 故 \(\alpha_2\ 阅读全文
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[问题2014A09] 设 \(A,B\) 分别是 \(3\times 2\), \(2\times 3\) 矩阵且满足\[AB=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix},\] 试求 \(BA\). 阅读全文
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[问题2014A08] 设 \(A=(a_{ij})\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶方阵, 定义函数 \[f(A)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2.\] 设 \(P\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 满足: 对任意的... 阅读全文
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[问题2014A06] 解答用反证法, 设存在 \(n\) 阶正交阵 \(A,B\), 使得 \[A^2=cAB+B^2,\,\,c\neq 0.\cdots(1)\]在 (1) 式两边同时左乘 \(A'\) 且右乘 \(B'\), 注意到\(A,B\) 都是正交阵,可得 \[AB'=cI_n+A'... 阅读全文
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[问题2014A07] 设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 阶方阵, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 维列向量, 满足: \[ A\alpha_1=\alpha_2,\,\,A... 阅读全文
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[问题2014A05] 解答(1) 将矩阵 \(A\) 分解为两个矩阵的乘积:\[A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n & x \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdo... 阅读全文