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[问题2015S11] 证明: 任一复方阵都相似于一个复对称阵. 举例说明: 存在实方阵, 它不相似于实对称阵. 阅读全文
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[问题2015S10] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵, 证明: 存在 \(n\) 阶非异实对称阵 \(R\), 使得 \(A'=R^{-1}AR\), 即 \(A\) 可通过非异实对称阵相似于其转置 \(A'\). 阅读全文
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[问题2015S09] 设 \(A,B\) 是 \(n\) 阶复矩阵, 满足 \(\mathrm{rank}(AB-BA)\leq 1\), 证明: \(A,B\) 可同时上三角化. 阅读全文
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[问题2015S08] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\overline{A}\) 与 \(\overline{A}A\) 相似, 其中 \(\overline{A}\) 表示 \(A\) 的共轭. 阅读全文
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[问题2015S07] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: 存在 \(n\) 阶非异复对称阵 \(S\), 使得 \(A'=S^{-1}AS\), 即 \(A\) 可通过非异复对称阵相似于其转置 \(A'\). 阅读全文
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[问题2015S06] 设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换. (1) 求证: 对任一非零向量 \(\alpha\in V\), \(U=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varp 阅读全文
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[问题2015S05] 设 \(A\) 是 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\) 可对角化的充分必要条件是 \(A\) 相似于某个如下的循环矩阵: \[C=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ a_n & a_1 & a_2 & \c 阅读全文
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[问题2015S04] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, \(C\) 为 \(k\times n\) 矩阵, 且对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}A-\lambda I_n\\ C \end{pmatrix}\) 均为列满秩阵. 阅读全文
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[问题2015S03] 设 \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的多项式, \(V\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换, 阅读全文
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[问题2015S02] 设 \(a,b,c\) 为复数且 \(bc\neq 0\), 证明下列 \(n\) 阶方阵 \(A\) 可对角化: \[A=\begin{pmatrix} a & b & & & & \\ c & a & b & & & \\ & c & a & b & & \\ & & \ 阅读全文
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[问题2015S01] 设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, 使得对于给定的 \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\), 或者 \(\varphi(A 阅读全文
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一、期末考试成绩班级前几名金羽佳(92)、包振航(91)、陈品翰(91)、孙浩然(90)、李卓凡(85)、张钧瑞(84)、郭昱君(84)、董麒麟(84)、张诚纯(84)、叶瑜(84)二、总成绩计算方法平时成绩根据交作业的次数决定，本学期共交作业12次，10次以上（包括10次）100分，少一次扣10分... 阅读全文
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八、(本题10分) 设 \(A,B\) 均为 \(m\times n\) 矩阵, 满足 \(r(A+B)=r(A)+r(B)\),证明: 存在 \(m\) 阶非异阵 \(P\), \(n\) 阶非异阵 \(Q\), 使得 \[PAQ=\begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \\ 0 ... 阅读全文
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七、(本题10分) 设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}\)为 \(V\) 中的向量组, 定义集合 \(R_S=\{(a_1,a_2,\cdots,a_m)\in\mathbb{K}^m\,|\,a... 阅读全文
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[问题2014A13] 解答先引入两个简单的结论.结论 1 设 \(\varphi\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换, 若存在正整数 \(k\), 使得 \(\mathrm{r}(\varphi^k)=\mathrm{r}(\varphi^{k+1})\), 则 \[\mat... 阅读全文