谢启鸿高等代数官方博客

摘要： 首先，欢迎2016级的同学进入数学学院和复旦学院志德书院开始大学阶段的学习和生活！ 说起数学，相信大家不会陌生，因为从小学至今已学了12年的数学。如果把数学比喻成一座雄伟的高山，把数学学习比喻成登山，那么前面12年的数学学习充其量只是让你来到了山脚下，拿到了一张登山的门票而已，真正的登山即将从现在开 阅读全文

摘要： 六、(本题10分) 设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)$, 复系数多项式 $g(\lambda)$ 满足 $(f(g(\lambda)),g'(\lambda))=1$, 证明: 存在 $n$ 阶复方阵 $B$, 使得 $g(B)=A$. 证明 设 $P$ 为非异阵 阅读全文

摘要： 七、(本题10分) 设 $A,B,C$ 分别为 $m\times m$, $n\times n$, $m\times n$ 阶复矩阵, $M=\begin{pmatrix} A & C\\ 0 & B\\ \end{pmatrix}$ 可对角化, 求证: 矩阵方程 $AX-XB=C$ 必有解. 证明 阅读全文

摘要： 八、(本题10分) 设 $A,B$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, 其算术平方根记为 $A^{\frac{1}{2}}$, $B^{\frac{1}{2}}$, 证明: 若 $A-B$ 为半正定阵, 则 $A^{\frac{1}{2}}-B^{\frac{1}{2}}$ 也是半正定阵. 证法一 首先我 阅读全文

摘要： 一、期末考试成绩班级前几名 胡晓波(90)、杨彦婷(88)、宋卓卿(85)、唐指朝(84)、陈建兵(83)、宋沛颖(82)、王昊越(81)、白睿(80)、韩沅伯(80)、王艺楷(80)、张漠林(80)、张子涵(80) 二、总成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定，本学期共交作业12次，10次以上 阅读全文

摘要： 关于相似标准型的讲解, 通常的高等代数教材都是先引入 $\lambda$-矩阵的概念, 将数字矩阵 $A$ 的相似问题转化为特征矩阵 $\lambda I-A$ 的相抵问题来考虑, 然后再求出 $\lambda I-A$ 的法式、不变因子组和初等因子组, 最后便可得到矩阵的有理标准型和 Jordan 阅读全文

摘要： [问题2016S01] 设 $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 是整系数首一多项式, 满足: $|a_0|$ 是素数且 $$|a_0|>1+\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|,$$ 证明: $f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式. 注 上述不 阅读全文

摘要： 一、复旦大学高等代数教材（第四版） 购买网址：复旦出版社天猫旗舰店 京东 当当 豆瓣读书 二、高代白皮书（第四版） 购买网址：复旦出版社天猫旗舰店 京东 当当 豆瓣读书 三、谢启鸿的教学获奖 2020年首批国家级一流本科课程（课程名称：高等代数，课程负责人） 2023年首批上海高校示范性本科课堂（课 阅读全文

摘要： 八、(本题10分) 设 $V$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 为 $V$ 上的线性变换. 子空间 $C(\varphi,\alpha)=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)$ 称为 $\varphi$ 阅读全文

摘要： 七、(本题10分) 设 $A,B,C$ 分别为 $m\times n$, $p\times q$ 和 $m\times q$ 矩阵, 证明: $r\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \\ \end{pmatrix}=r(A)+r(B)$ 成立当且仅当矩阵方程 $AX+YB= 阅读全文

摘要： 八、(本题10分) 设 $A,B$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 求证: $AB$ 可对角化. 分析 证明分成两个步骤: 第一步, 将 $A,B$ 中的某一个简化为合同标准形来考虑问题, 这是矩阵理论中常见的技巧; 第二步, 利用半正定阵的三个重要性质 (参考新白皮书的例 8.43、例 8.44 阅读全文

摘要： 七、(本题10分) 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 满足 $AB=BA=0$, $r(A)=r(A^2)$, 求证: $$r(A+B)=r(A)+r(B).$$ 分析 这是一道陈题, 出现在各种高代教材或考研试题中. 这道题目至少有三种证法, 第一种方法利用分块初等变换, 这需要对矩阵秩的证明 阅读全文

摘要： 一、期末考试成绩班级前几名胡晓波(93)、宋沛颖(92)、张舒帆(91)、姚人天(90)、曾奕博(90)、杨彦婷(90)、白睿(88)、唐指朝(87)、谢灵尧(87)、蔡雪(87)二、总成绩计算方法平时成绩根据交作业的次数决定，本学期共交作业13次，10次以上（包括10次）100分，少一次扣10分。... 阅读全文

摘要： [问题2015A01] 证明: 第三类分块初等变换是若干个第三类初等变换的复合. 特别地, 第三类分块初等变换不改变行列式的值. [问题2015A02] 设 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A=(a_{ij}(x))$, 其中每个元素 $a_{ij}(x)$ 都是关于未定元 $x$ 的多项式 阅读全文

摘要： 以下列举的勘误不包含中文出版的印刷错误，只包含数学的错误以及叙述或论述中的不当之处等。 高代教材第四版已于2022年11月正式出版，下面的勘误以及未列举的一些印刷错误等已经得到了改正。因此，高代教材第三版的勘误表将不再更新，敬请读者留意。 第43页, 习题1: $a_{1n}a_{2,n-1}a_{ 阅读全文