2020 年 2月随笔档案 - torsor

复旦大学高等代数习题课在线课程

摘要：复旦大学高等代数习题课在线课程以高等代数中的重要思想、方法和技巧为主题，精心讲解高等代数中的典型例题。这些例题取自复旦大学高等代数学习方法指导书（又称高代白皮书）第三版，复旦大学高等代数每周一题、期中和期末考试大题，以及全国大学生数学竞赛试题等。本习题课在线课程分成两个部分，分别是高等代数I（36讲阅读全文

posted @ 2020-02-22 10:51 torsor 阅读(4649) 评论(0) 推荐(0) 编辑

复旦大学数学学院19级高等代数I期中考试第六大题的三种证法及其延拓

摘要：矩阵秩的估计 (等式或不等式的证明) 是高等代数教学中的一个难点, 我们通常有以下三种方法, 分别是: (i) 从矩阵秩的基本等式和不等式出发, 利用矩阵的初等变换来处理 (参考高代白皮书第 3.2.6 节第 1 部分); (ii) 利用线性方程组的求解理论来处理 (参考高代白皮书第 3.2.6 节阅读全文

posted @ 2020-02-08 15:22 torsor 阅读(3594) 评论(0) 推荐(3) 编辑

复旦大学数学学院19级高等代数I期中考试第七大题的三种证法及其推广

摘要：矩阵非异性的判定是高等代数教学中的一个重点. 一般来说, 判定非异矩阵的常见方法有五种, 分别是: (i) 行列式的计算 (参考高代白皮书第 1 章); (ii) 凑因子法 (参考高代白皮书第 2.2.3 节); (iii) 线性方程组求解理论的应用 (参考高代白皮书第 3.2.6 节的第 2 部分阅读全文

posted @ 2020-02-07 17:30 torsor 阅读(5972) 评论(0) 推荐(3) 编辑

复旦大学数学学院18级高等代数II期中考试第五大题的三种证法及其推广

摘要：第五大题设

A_{1}, \dots, A_{n}

$A_1,\cdots,A_n$ 为两两乘法可交换的 2019 阶实方阵,

f (x_{1}, \dots, x_{n})

$f(x_1,\cdots,x_n)$ 是

n

$n$ 元实系数多项式. 令

B = f (A_{1}, \dots, A_{n})

$B=f(A_1,\cdots,A_n)$ , 证明: 存在

B

$B$ 的某个特征值

λ_{0}

$\lambda_0$ , 使得方程 $f(x_1,\c 阅读全文

posted @ 2020-02-06 19:32 torsor 阅读(3011) 评论(0) 推荐(1) 编辑

复旦大学数学学院18级高等代数II期中考试第六大题解答

摘要：第六大题设

A

$A$ 为

n

$n$ 阶复方阵, 证明:

A

$A$ 不可对角化当且仅当存在一元多项式

f (x)

$f(x)$ , 使得

f (A)

$f(A)$ 非零,

I_{n} + f (A)

$I_n+f(A)$ 可逆, 并且

(I_{n} + f (A))^{- 1}

$(I_n+f(A))^{-1}$ 与

I_{n} - f (A)

$I_n-f(A)$ 相似. 证明先证必要性. 考虑

A

$A$ 的 Jordan-C 阅读全文

posted @ 2020-02-06 10:57 torsor 阅读(1524) 评论(0) 推荐(0) 编辑

复旦大学数学学院18级高等代数II期中考试第七大题的三种证法及其推广

摘要：第七大题设

A

$A$ 为

n

$n$ 阶复方阵, 证明: 存在复数

c_{1}, \dots, c_{n - 1}

$c_1,\cdots,c_{n-1}$ , 使得

A - c_{1} e^{A} - c_{2} e^{2 A} - \dots - c_{n - 1} e^{(n - 1) A}

$A-c_1e^A-c_2e^{2A}-\cdots-c_{n-1}e^{(n-1)A}$ 是可对角化矩阵. 本题是复旦大学数学学院 18 级高等代数 II 期中考试的第七大题, 虽阅读全文

posted @ 2020-02-05 17:01 torsor 阅读(2526) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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