摘要：复旦大学高等代数习题课在线课程以高等代数中的重要思想、方法和技巧为主题，精心讲解高等代数中的典型例题。这些例题取自复旦大学高等代数学习方法指导书（又称高代白皮书）第三版，复旦大学高等代数每周一题、期中和期末考试大题，以及全国大学生数学竞赛试题等。本习题课在线课程分成两个部分，分别是高等代数I（36讲 阅读全文

摘要：矩阵秩的估计 (等式或不等式的证明) 是高等代数教学中的一个难点, 我们通常有以下三种方法, 分别是: (i) 从矩阵秩的基本等式和不等式出发, 利用矩阵的初等变换来处理 (参考高代白皮书第 3.2.6 节第 1 部分); (ii) 利用线性方程组的求解理论来处理 (参考高代白皮书第 3.2.6 节 阅读全文

摘要：矩阵非异性的判定是高等代数教学中的一个重点. 一般来说, 判定非异矩阵的常见方法有五种, 分别是: (i) 行列式的计算 (参考高代白皮书第 1 章); (ii) 凑因子法 (参考高代白皮书第 2.2.3 节); (iii) 线性方程组求解理论的应用 (参考高代白皮书第 3.2.6 节的第 2 部分 阅读全文

摘要：第五大题 设 $A_1,\cdots,A_n$ 为两两乘法可交换的 2019 阶实方阵, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 元实系数多项式. 令 $B=f(A_1,\cdots,A_n)$, 证明: 存在 $B$ 的某个特征值 $\lambda_0$, 使得方程 $f(x_1,\c 阅读全文

摘要：第六大题 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: $A$ 不可对角化当且仅当存在一元多项式 $f(x)$, 使得 $f(A)$ 非零, $I_n+f(A)$ 可逆, 并且 $(I_n+f(A))^{-1}$ 与 $I_n-f(A)$ 相似. 证明 先证必要性. 考虑 $A$ 的 Jordan-C 阅读全文

摘要：第七大题 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: 存在复数 $c_1,\cdots,c_{n-1}$, 使得 $$A-c_1e^A-c_2e^{2A}-\cdots-c_{n-1}e^{(n-1)A}$$ 是可对角化矩阵. 本题是复旦大学数学学院 18 级高等代数 II 期中考试的第七大题, 虽 阅读全文