2014 年 12月随笔档案 - torsor

[问题2014A13] 解答

摘要：[问题2014A13] 解答先引入两个简单的结论.结论 1 设

φ

$\varphi$ 是

n

$n$ 维线性空间

V

$V$ 上的线性变换, 若存在正整数

k

$k$ , 使得

r (φ^{k}) = r (φ^{k + 1})

$\mathrm{r}(\varphi^k)=\mathrm{r}(\varphi^{k+1})$ , 则 \[\mat... 阅读全文

posted @ 2014-12-28 17:59 torsor 阅读(1217) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[问题2014A12] 解答

摘要：[问题2014A12] 解答将问题转换成几何的语言: 设

φ, ψ

$\varphi,\psi$ 是

n

$n$ 维线性空间

V

$V$ 上的线性变换, 满足

φ ψ = ψ φ = 0

$\varphi\psi=\psi\varphi=0$ , \(\mathrm{r}(\varphi)=\mathrm{r}(\varphi^2... 阅读全文

posted @ 2014-12-27 18:04 torsor 阅读(1824) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A11] 解答

摘要：[问题2014A11] 解答我们需要利用以下关于幂等阵判定的结论，它是复旦高代书第 142 页的例 3.6.4:结论设

A

$A$ 为

n

$n$ 阶方阵, 则

A^{2} = A

$A^2=A$ 当且仅当

r (A) + r (I_{n} - A) = n

$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(I_n-A)=n$ .由题中两个条件和上述结论可得\... 阅读全文

posted @ 2014-12-20 14:39 torsor 阅读(1368) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[问题2014A13] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十五教学周）

摘要：[问题2014A13] 设

V

$V$ 是数域

K

$K$ 上的

n

$n$ 维线性空间,

φ

$\varphi$ 是

V

$V$ 上的幂零线性变换且满足

r (φ) = n - 1

$\mathrm{r}(\varphi)=n-1$ , 求证:

V

$V$ 是关于线性变换

φ

$\varphi$ 的循环空间, 即存在向量 ... 阅读全文

posted @ 2014-12-20 13:38 torsor 阅读(1016) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A10] 解答

摘要：[问题2014A10] 解答考虑如下变形:

(I_{n} - A)^{2} = (A A^{'} - A) (I_{n} - A) = A (A^{'} - I_{n}) (I_{n} - A) = - A (I_{n} - A)^{'} (I_{n} - A) .

$(I_n-A)^2=(AA'-A)(I_n-A)=A(A'-I_n)(I_n-A)=-A(I_n-A)'(I_n-A).$ 因为

A

$A$ 是非异阵, 故 \[\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big)=\mathrm{rank... 阅读全文

posted @ 2014-12-12 15:10 torsor 阅读(1029) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A12] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十四教学周）

摘要：[问题2014A12] 设

A, B

$A,B$ 是

n

$n$ 阶方阵且满足

A B = B A = 0

$AB=BA=0$ ,

r (A) = r (A^{2})

$\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(A^2)$ , 证明:

r (A + B) = r (A) + r (B) .

$\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B).$ 提示利用复旦高代书第 2... 阅读全文

posted @ 2014-12-12 14:59 torsor 阅读(1094) 评论(0) 推荐(3) 编辑

[问题2014A09] 解答

摘要：[问题2014A09] 解答通过简单的计算可得

(A B)^{2} = 9 A B, \dots \dots (1)

$(AB)^2=9AB,\cdots\cdots(1)$ 将(1) 式的右边移到左边, 并将

A, B

$A,B$ 分别提出可得

A (B A - 9 I_{2}) B = 0. \dots \dots (2)

$A(BA-9I_2)B=0.\cdots\cdots(2)$ 下面给出两种方法来讨论.方法一通过简单的计算可得 \(... 阅读全文

posted @ 2014-12-07 14:30 torsor 阅读(1219) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A11] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十三教学周）

摘要：[问题2014A11] 设

n

$n$ 阶方阵

A, B

$A,B$ 满足:

(A + B)^{2} = A + B

$(A+B)^2=A+B$ ,

r (A + B) = r (A) + r (B)

$\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)$ , 证明:

A^{2} = A, B^{2} = B, A B = B A = 0.

$A^2=A,\,\,B^2=B,\,\,AB=BA=0.$ 阅读全文

posted @ 2014-12-07 09:58 torsor 阅读(949) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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