2014 年 11月随笔档案 - torsor

[问题2014A08] 解答

摘要：[问题2014A08] 解答由假设知

f (A) = t r (A A^{'})

$f(A)=\mathrm{tr}(AA')$ , 因此 \[f(PAP^{-1})=\mathrm{tr}(PAP^{-1}(P')^{-1}A'P')=\mathrm{tr}((P'P)A(P'P)^{-1}A')=\mathrm{tr}(AA').\cd... 阅读全文

posted @ 2014-11-29 16:20 torsor 阅读(1229) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[问题2014A10] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十二教学周）

摘要：[问题2014A10] 设

A

$A$ 为

n

$n$ 阶实方阵满足

A A^{'} = I_{n}

$AA'=I_n$ (即

A

$A$ 为

n

$n$ 阶正交阵), 证明:

r a n k (I_{n} - A) = r a n k ((I_{n} - A)^{2}) .

$\mathrm{rank}(I_n-A)=\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big).$ 注请不要用高代 II 中正交阵的正... 阅读全文

posted @ 2014-11-29 14:52 torsor 阅读(877) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A07] 解答

摘要：[问题2014A07] 解答我们分三步进行证明.

1^{\circ}

$1^\circ$ 先证

α_{1}, α_{2}

$\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关. 用反证法, 设

α_{1}, α_{2}

$\alpha_1,\alpha_2$ 线性相关, 我们来推出矛盾. 因为

α_{1} \neq 0

$\alpha_1\neq 0$ , 故 \(\alpha_2\ 阅读全文

posted @ 2014-11-22 11:18 torsor 阅读(1420) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A09] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十一教学周）

摘要：[问题2014A09] 设

A, B

$A,B$ 分别是

3 \times 2

$3\times 2$ ,

2 \times 3

$2\times 3$ 矩阵且满足

A B = [\begin{matrix} 8 & 2 & - 2 \\ 2 & 5 & 4 \\ - 2 & 4 & 5 \end{matrix}],

$AB=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix},$ 试求

B A

$BA$ . 阅读全文

posted @ 2014-11-22 09:45 torsor 阅读(861) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A08] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十教学周）

摘要：[问题2014A08] 设

A = (a_{i j})

$A=(a_{ij})$ 为数域

K

$\mathbb{K}$ 上的

n

$n$ 阶方阵, 定义函数

f (A) = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j}^{2} .

$f(A)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2.$ 设

P

$P$ 为数域

K

$\mathbb{K}$ 上的

n

$n$ 阶非异阵, 满足: 对任意的... 阅读全文

posted @ 2014-11-15 12:00 torsor 阅读(898) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A06] 解答

摘要：[问题2014A06] 解答用反证法, 设存在

n

$n$ 阶正交阵

A, B

$A,B$ , 使得

A^{2} = c A B + B^{2}, c \neq 0. \dots (1)

$A^2=cAB+B^2,\,\,c\neq 0.\cdots(1)$ 在 (1) 式两边同时左乘

A^{'}

$A'$ 且右乘

B^{'}

$B'$ , 注意到

A, B

$A,B$ 都是正交阵,可得 \[AB'=cI_n+A'... 阅读全文

posted @ 2014-11-15 11:49 torsor 阅读(1104) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A07] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第九教学周）

摘要：[问题2014A07] 设

A

$A$ 是有理数域

Q

$\mathbb{Q}$ 上的 4 阶方阵,

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 是

Q

$\mathbb{Q}$ 上的 4 维列向量, 满足: \[ A\alpha_1=\alpha_2,\,\,A... 阅读全文

posted @ 2014-11-08 14:15 torsor 阅读(1003) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A05] 解答

摘要：[问题2014A05] 解答(1) 将矩阵

A

$A$ 分解为两个矩阵的乘积:\[A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n & x \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdo... 阅读全文

posted @ 2014-11-08 14:07 torsor 阅读(1737) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A04] 解答

摘要：[问题2014A04] 解答(1) 由条件可得

A B + B A = 0

$AB+BA=0$ , 即

A B = - B A

$AB=-BA$ ,因此

A B = A^{2} B = A (A B) = A (- B A) = - (A B) A = - (- B A) A = B A^{2} = B A,

$AB=A^2B=A(AB)=A(-BA)=-(AB)A=-(-BA)A=BA^2=BA,$ 从而

A B = B A = 0

$AB=BA=0$ .(2) 由条件可得 \(0=B(AB)^kA=(BA)^{k+1}\... 阅读全文

posted @ 2014-11-01 14:48 torsor 阅读(2491) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[问题2014A06] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第八教学周）

摘要：[问题2014A06] 若

n

$n$ 阶实方阵

A

$A$ 满足

A A^{'} = I_{n}

$AA'=I_n$ , 则称为正交矩阵. 证明: 不存在

n

$n$ 阶正交矩阵

A, B

$A,B$ 满足

A^{2} = c A B + B^{2}

$A^2=cAB+B^2$ ,其中

c

$c$ 是非零常数. 阅读全文

posted @ 2014-11-01 11:53 torsor 阅读(1022) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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