10 2014 档案
摘要：[问题2014A03] 解答注意到 \((A^*)^*\) 的第 (1,1) 元素是 \(A^*\) 的第(1,1) 元素的代数余子式, 即为\[\begin{vmatrix} A_{22} & A_{32} & \cdots & A_{n2} \\ A_{23} & A_{33} & \cdots...
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摘要：[问题2014A05] (1) 设 \(x_1,x_2\cdots,x_n,x\) 都是未定元, \(s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k\,(k\geq 1)\), \(s_0=n\), 试求下列行列式的值:\[|A|=\begin{vmatrix} s_0 & s_1 & \...
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摘要：[问题2014A04] 设 \(A,B,C,D\) 均为 \(n\) 阶方阵.(1) 若 \(A^2=A\), \(B^2=B\), \((A+B)^2=A+B\), 证明: \(AB=BA=0\).(2) 若存在正整数 \(k\), 使得 \((AB)^k=0\), 证明: \(I_n-BA\) ...
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摘要：[问题2014A02] 解答三（降阶公式法）将矩阵 \(A\) 写成如下形式:\[A=\begin{pmatrix}-2a_1 &0 & \cdots &0 &0 \\0 &-2a_2 & \cdots &0 &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vd...
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摘要：[问题2014A02] 解答二（求和法+拆分法，由张诚纯同学提供）将行列式 \(|A|\) 的第二列，\(\cdots\)，第 \(n\) 列全部加到第一列，可得\[ |A|=\begin{vmatrix}\sum_{i=1}^na_i+(n-2)a_1 & a_1+a_2 & \cdots & a...
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摘要：[问题2014A02] 解答一（两次升阶法，由张钧瑞同学、董麒麟同学提供）将原行列式 \(|A|\) 升阶，考虑如下 \(n+1\) 阶行列式:\[|B|=\begin{vmatrix} 1 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\ 0 & 0 & a_...
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摘要：[问题2014A03] 设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(n\,(n\geq 3)\) 阶方阵，\(A_{ij}\) 为第 \((i,j)\) 元素 \(a_{ij}\) 在 \(|A|\) 中的代数余子式，证明:\[\begin{vmatrix} A_{22} & A_{23} & \cd...
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摘要：[问题2014A01] 解答三（升阶法，由董麒麟同学提供）引入变量 \(y\)，将 \(|A|\) 升阶，考虑如下行列式:\[|B|=\begin{vmatrix} 1 & x_1-a & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \...
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摘要：[问题2014A01] 解答二（后 n-1 列拆分法，由郭昱君同学提供）\[|A|=\begin{vmatrix}1 & x_1^2-ax_1 & x_1^3-ax_1^2 & \cdots & x_1^n-ax_1^{n-1} \\ 1 & x_2^2-ax_2 & x_2^3-ax_2^2 & ...
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摘要：[问题2014A01] 解答一（第一列拆分法，由张钧瑞同学提供）(1)当 \(a=0\) 时，这是高代书复习题一第 33 题，可用升阶法和 Vander Monde 行列式来求解，其结果为\[|A|=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)\Big(\sum_{i=1}^nx...
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摘要：[问题2014A02] 求下列 \(n\) 阶行列式的值, 其中 \(a_i\neq 0\,(i=1,2,\cdots,n)\):\[|A|=\begin{vmatrix} 0 & a_1+a_2 & \cdots & a_1+a_{n-1} & a_1+a_n \\ a_2+a_1 & 0 & \...
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