2014 年 10月随笔档案 - torsor

[问题2014A03] 解答

摘要：[问题2014A03] 解答注意到

(A^{*})^{*}

$(A^*)^*$ 的第 (1,1) 元素是

A^{*}

$A^*$ 的第(1,1) 元素的代数余子式, 即为\[\begin{vmatrix} A_{22} & A_{32} & \cdots & A_{n2} \\ A_{23} & A_{33} & \cdots... 阅读全文

posted @ 2014-10-25 16:23 torsor 阅读(3766) 评论(4) 推荐(0) 编辑

[问题2014A05] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第七教学周）

摘要：[问题2014A05] (1) 设

x_{1}, x_{2} \dots, x_{n}, x

$x_1,x_2\cdots,x_n,x$ 都是未定元,

s_{k} = x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{n}^{k} (k \geq 1)

$s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k\,(k\geq 1)$ ,

s_{0} = n

$s_0=n$ , 试求下列行列式的值:\[|A|=\begin{vmatrix} s_0 & s_1 & \... 阅读全文

posted @ 2014-10-25 14:25 torsor 阅读(1273) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A04] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第六教学周）

摘要：[问题2014A04] 设

A, B, C, D

$A,B,C,D$ 均为

n

$n$ 阶方阵.(1) 若

A^{2} = A

$A^2=A$ ,

B^{2} = B

$B^2=B$ ,

(A + B)^{2} = A + B

$(A+B)^2=A+B$ , 证明:

A B = B A = 0

$AB=BA=0$ .(2) 若存在正整数

k

$k$ , 使得

(A B)^{k} = 0

$(AB)^k=0$ , 证明:

I_{n} - B A

$I_n-BA$ ... 阅读全文

posted @ 2014-10-19 14:49 torsor 阅读(1361) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[问题2014A02] 解答三（降阶公式法）

摘要：[问题2014A02] 解答三（降阶公式法）将矩阵

A

$A$ 写成如下形式:\[A=\begin{pmatrix}-2a_1 &0 & \cdots &0 &0 \\0 &-2a_2 & \cdots &0 &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vd... 阅读全文

posted @ 2014-10-19 14:39 torsor 阅读(1810) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A02] 解答二（求和法+拆分法，由张诚纯同学提供）

摘要：[问题2014A02] 解答二（求和法+拆分法，由张诚纯同学提供）将行列式

| A |

$|A|$ 的第二列，

\dots

$\cdots$ ，第

n

$n$ 列全部加到第一列，可得\[ |A|=\begin{vmatrix}\sum_{i=1}^na_i+(n-2)a_1 & a_1+a_2 & \cdots & a... 阅读全文

posted @ 2014-10-19 08:06 torsor 阅读(1647) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A02] 解答一（两次升阶法，由张钧瑞同学、董麒麟同学提供）

摘要：[问题2014A02] 解答一（两次升阶法，由张钧瑞同学、董麒麟同学提供）将原行列式

| A |

$|A|$ 升阶，考虑如下

n + 1

$n+1$ 阶行列式:\[|B|=\begin{vmatrix} 1 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\ 0 & 0 & a_... 阅读全文

posted @ 2014-10-18 17:39 torsor 阅读(1894) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[问题2014A03] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第五教学周）

摘要：[问题2014A03] 设

A = (a_{i j})

$A=(a_{ij})$ 为

n (n \geq 3)

$n\,(n\geq 3)$ 阶方阵，

A_{i j}

$A_{ij}$ 为第

(i, j)

$(i,j)$ 元素

a_{i j}

$a_{ij}$ 在

| A |

$|A|$ 中的代数余子式，证明:\[\begin{vmatrix} A_{22} & A_{23} & \cd... 阅读全文

posted @ 2014-10-12 12:17 torsor 阅读(1193) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A01] 解答三（升阶法，由董麒麟同学提供）

摘要：[问题2014A01] 解答三（升阶法，由董麒麟同学提供）引入变量

y

$y$ ，将

| A |

$|A|$ 升阶，考虑如下行列式:\[|B|=\begin{vmatrix} 1 & x_1-a & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \... 阅读全文

posted @ 2014-10-12 11:37 torsor 阅读(1495) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[问题2014A01] 解答二（后 n-1 列拆分法，由郭昱君同学提供）

摘要：[问题2014A01] 解答二（后 n-1 列拆分法，由郭昱君同学提供）\[|A|=\begin{vmatrix}1 & x_1^2-ax_1 & x_1^3-ax_1^2 & \cdots & x_1^n-ax_1^{n-1} \\ 1 & x_2^2-ax_2 & x_2^3-ax_2^2 & ... 阅读全文

posted @ 2014-10-12 10:59 torsor 阅读(1546) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A01] 解答一（第一列拆分法，由张钧瑞同学提供）

摘要：[问题2014A01] 解答一（第一列拆分法，由张钧瑞同学提供）(1)当

a = 0

$a=0$ 时，这是高代书复习题一第 33 题，可用升阶法和 Vander Monde 行列式来求解，其结果为\[|A|=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)\Big(\sum_{i=1}^nx... 阅读全文

posted @ 2014-10-12 09:07 torsor 阅读(12073) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014A02] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第四教学周）

摘要：[问题2014A02] 求下列

n

$n$ 阶行列式的值, 其中

a_{i} \neq 0 (i = 1, 2, \dots, n)

$a_i\neq 0\,(i=1,2,\cdots,n)$ :\[|A|=\begin{vmatrix} 0 & a_1+a_2 & \cdots & a_1+a_{n-1} & a_1+a_n \\ a_2+a_1 & 0 & \... 阅读全文

posted @ 2014-10-05 14:15 torsor 阅读(1222) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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