2014 年 5月随笔档案 - torsor

[问题2014S15] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十五教学周）

摘要：[问题2014S15] 设

O

$O$ 为

n

$n$ 阶正交阵，

A = d i a g {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}

$A=\mathrm{diag}\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 为实对角阵, 证明: 方阵

O A

$OA$ 的特征值

λ_{j}

$\lambda_j$ 适合不等式: \[m\leq |\lambda_j|\leq M,\,... 阅读全文

posted @ 2014-05-31 19:55 torsor 阅读(1206) 评论(1) 推荐(0) 编辑

[问题2014S13] 解答

摘要：[问题2014S13] 解答(1) 先证必要性：若

A = L U

$A=LU$ 是非异阵

A

$A$ 的

L U

$LU$ 分解，则

L

$L$ 是主对角元全部等于 1 的下三角阵，

U

$U$ 是主对角元全部非零的上三角阵. 由 Cauchy-Binet 公式知 \[|A_k|=|L_k|\cdot|U_k|=|... 阅读全文

posted @ 2014-05-31 17:09 torsor 阅读(1235) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S14] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十四教学周）

摘要：[问题2014S14] 设

V

$V$ 为酉空间, 证明: 不存在

V

$V$ 上的非零线性变换

φ

$\varphi$ , 使得对

V

$V$ 中任一向量

v

$v$ 均有

(φ (v), v) = 0.

$(\varphi(v),v)=0.$ 注本题是复旦高代教材 P326 习题 9.1.5 的推广. 阅读全文

posted @ 2014-05-25 17:28 torsor 阅读(814) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S12] 解答

摘要：[问题2014S12] 解答先证明一个简单的引理.引理设

B

$B$ 为

n

$n$ 阶半正定 Hermite 阵,

α

$\alpha$ 为

n

$n$ 维复列向量, 若

{\bar{α}}^{T} B α = 0

$\overline{\alpha}^TB\alpha=0$ , 则

B α = 0

$B\alpha=0$ .引理的证明由假设存在 ... 阅读全文

posted @ 2014-05-25 17:09 torsor 阅读(1026) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S11] 解答

摘要：[问题2014S11] 解答我们先引用一下复旦高代书 P310 的习题 6, 其证明可参考白皮书 P257 的例 8.33：习题6 设实二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = y_{1}^{2} + \dots + y_{k}^{2} - y_{k + 1}^{2} - \dots - y_{k + s}^{2}

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=y_1^2+\cdots+y_k^2-y_{k+1}^2-\cdots-y_{k+s}^2$ , 其中 \(... 阅读全文

posted @ 2014-05-17 14:33 torsor 阅读(1092) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S13] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十三教学周）

摘要：[问题2014S13] (1) 设

A

$A$ 是数域

K

$\mathbb{K}$ 上的

n

$n$ 阶非异阵, 若存在主对角元全为

1

$1$ 的下三角阵

L \in M_{n} (K)

$L\in M_n(\mathbb{K})$ 以及上三角阵

U \in M_{n} (K)

$U\in M_n(\mathbb{K})$ 使得

A = L U

$A=LU$ , ... 阅读全文

posted @ 2014-05-17 14:00 torsor 阅读(931) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[问题2014S10] 解答

摘要：[问题2014S10] 解答先证明一个简单的引理.引理设

λ_{0}

$\lambda_0$ 是

n

$n$ 阶方阵

A

$A$ 的特征值, 则对任意的正整数

k

$k$ , Jordan 块

J_{k} (λ_{0})

$J_k(\lambda_0)$ 在

A

$A$ 的 Jordan 标准型

J

$J$ 中出现的个数为 \[\... 阅读全文

posted @ 2014-05-10 16:42 torsor 阅读(2217) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[问题2014S12] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十二教学周）

摘要：[问题2014S12] 设

A, B

$A,B$ 都是

n

$n$ 阶半正定实对称阵, 证明:

A B

$AB$ 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若

A, B

$A,B$ 都是正定实对称阵, 证明:

A B

$AB$ 的所有特征值都是正实数. [公告] 关于本学期复旦高等代数II（13级）每周一题，新题的公布到第阅读全文

posted @ 2014-05-10 14:21 torsor 阅读(1065) 评论(1) 推荐(0) 编辑

[问题2014S09] 解答

摘要：[问题2014S09] 解答充分性: 先证明对 Jordan 块

J_{r} (1)

$J_r(1)$ 以及任意的正整数

m

$m$ , 均有

J_{r} (1)^{m}

$J_r(1)^m$ 相似于

J_{r} (1)

$J_r(1)$ . 设

N = J_{r} (0)

$N=J_r(0)$ , 则

J_{r} (1) = I + N

$J_r(1)=I+N$ .从而 \[J_r(1)^m=(I+N)^m=I+m... 阅读全文

posted @ 2014-05-04 12:10 torsor 阅读(1144) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[问题2014S11] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十一教学周）

摘要：[问题2014S11] 设

A, B

$A,B$ 为

n

$n$ 阶实对称阵,

p (A), p (B), p (A + B)

$p(A),p(B),p(A+B)$ 分别为

A, B, A + B

$A,B,A+B$ 的正惯性指数, 证明:

p (A) + p (B) \geq p (A + B) .

$p(A)+p(B)\geq p(A+B).$ 阅读全文

posted @ 2014-05-03 14:40 torsor 阅读(1001) 评论(6) 推荐(0) 编辑

谢启鸿高等代数官方博客

05 2014 档案

公告

搜索

常用链接

随笔档案

阅读排行榜

评论排行榜

推荐排行榜

最新评论