2014 年 4月随笔档案 - torsor

[问题2014S08] 解答

摘要：[问题2014S08] 解答 (此解答由徐昊宸同学和鹿彭同学提供)设

P_{1} (λ), P_{2} (λ), Q_{1} (λ), Q_{2} (λ)

$P_1(\lambda),P_2(\lambda),Q_1(\lambda),Q_2(\lambda)$ 为可逆

λ

$\lambda$ -矩阵, 使得 \[P_1(\lambda)(\lambda I_m-A_1)Q_1(\... 阅读全文

posted @ 2014-04-26 13:44 torsor 阅读(1355) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S10] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十教学周）

摘要：[问题2014S10] 设

A, B

$A,B$ 为

n

$n$ 阶方阵, 证明:

A B

$AB$ 与

B A

$BA$ 相似的充分必要条件是

r a n k ((A B)^{i}) = r a n k ((B A)^{i}), i = 1, 2, \dots, n - 1.

$\mathrm{rank}\big((AB)^i\big)=\mathrm{rank}\big((BA)^i\big),\, i=1,2,\cdots,n-1.$ ... 阅读全文

posted @ 2014-04-26 09:17 torsor 阅读(1541) 评论(3) 推荐(0) 编辑

[问题2014S07] 解答

摘要：[问题2014S07] 解答 (本解答由沈启帆同学提供)由复旦高代教材 P265 引理 7.4.1 知

F (P_{i} (λ)^{e_{i}})

$F(P_i(\lambda)^{e_i})$ 的不变因子组为

1, \dots, 1, P_{i} (λ)^{e_{i}} .

$1,\cdots,1,P_i(\lambda)^{e_i}.$ 因此分块对角阵 \(F=\mathrm{diag}\{F(... 阅读全文

posted @ 2014-04-19 14:28 torsor 阅读(1320) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S09] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第九教学周）

摘要：[问题2014S09] 证明:

n

$n$ 阶方阵

A

$A$ 与所有的

A^{m} (m \geq 1)

$A^m\,(m\geq 1)$ 都相似的充分必要条件是

A

$A$ 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{diag}\{ J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0 \}.\... 阅读全文

posted @ 2014-04-19 08:27 torsor 阅读(1067) 评论(6) 推荐(0) 编辑

[问题2014S08] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第八教学周）

摘要：[问题2014S08] 设分块上三角阵

A = [\begin{matrix} A_{1} & B \\ 0 & A_{2} \end{matrix}],

$A=\begin{bmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},$ 其中

m

$m$ 阶方阵

A_{1}

$A_1$ 的 Jordan 标准型为

J_{1}

$J_1$ ,

n

$n$ 阶方阵

A_{2}

$A_2$ 的 Jordan 标准型... 阅读全文

posted @ 2014-04-12 14:02 torsor 阅读(1093) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S06] 解答

摘要：[问题2014S06] 解答 (本解答由巴闻嘉同学给出)设特征多项式

f (x) = det (x I_{V} - φ) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0},

$f(x)=\det(xI_V-\varphi)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$ 则由 Cayley-Hamilton 定理可得\[\varphi^n+a_{n-1}\varphi^{... 阅读全文

posted @ 2014-04-12 08:32 torsor 阅读(1634) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S07] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第七教学周）

摘要：[问题2014S07] 设

A \in M_{n} (K)

$A\in M_n(\mathbb{K})$ 在数域

K

$\mathbb{K}$ 上的初等因子组为

P_{1} (λ)^{e_{1}}, P_{2} (λ)^{e_{2}}, \dots, P_{k} (λ)^{e_{k}}

$P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k}$ , 其中

P_{i} (λ)

$P_i(\lambda)$ 是

K

$\mathbb{K}$ 上的不可约多项式,

e_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, k

$e_i>0,\,i=1,2,\cdots,k$ . 设

F (P_{i} (λ)^{e_{i}})

$F(P_i(\lambda)^{e_i})$ 为相伴于多项式

P_{i} (λ)^{e_{i}}

$P_i(\lambda)^{e_i}$ 的友阵 (定义见复旦高代教材 250 页复习题 15), 证明阅读全文

posted @ 2014-04-04 14:42 torsor 阅读(1144) 评论(1) 推荐(0) 编辑

[问题2014S05] 解答

摘要：[问题2014S05] 解答 (本解答由谷嵘同学提供) 首先, 由

t r (A B) = t r (B A)

$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ 可得

a = 0

$a=0$ , 或者由 Cauchy-Binet 公式知

| A B | = 0

$|AB|=0$ , 从而可得

a = 0

$a=0$ . 其次, 我们来证明一个一般的结论. 引理阅读全文

posted @ 2014-04-04 14:03 torsor 阅读(6476) 评论(1) 推荐(0) 编辑

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