摘要：[问题2014S08] 解答 (此解答由徐昊宸同学和鹿彭同学提供)设 \(P_1(\lambda),P_2(\lambda),Q_1(\lambda),Q_2(\lambda)\) 为可逆 \(\lambda\)-矩阵, 使得 \[P_1(\lambda)(\lambda I_m-A_1)Q_1(\... 阅读全文

摘要：[问题2014S10] 设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵, 证明: \(AB\) 与 \(BA\) 相似的充分必要条件是 \[\mathrm{rank}\big((AB)^i\big)=\mathrm{rank}\big((BA)^i\big),\, i=1,2,\cdots,n-1.\]... 阅读全文

摘要：[问题2014S07] 解答 (本解答由沈启帆同学提供)由复旦高代教材 P265 引理 7.4.1 知 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 的不变因子组为 \[1,\cdots,1,P_i(\lambda)^{e_i}.\] 因此分块对角阵 \(F=\mathrm{diag}\{F(... 阅读全文

摘要：[问题2014S09] 证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{diag}\{ J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0 \}.\... 阅读全文

摘要：[问题2014S08] 设分块上三角阵 \[A=\begin{bmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},\] 其中 \(m\) 阶方阵 \(A_1\) 的 Jordan 标准型为 \(J_1\), \(n\) 阶方阵 \(A_2\) 的 Jordan 标准型... 阅读全文

摘要：[问题2014S06] 解答 (本解答由巴闻嘉同学给出)设特征多项式 \[f(x)=\det(xI_V-\varphi)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\] 则由 Cayley-Hamilton 定理可得\[\varphi^n+a_{n-1}\varphi^{... 阅读全文

摘要：[问题2014S07] 设 \(A\in M_n(\mathbb{K})\)在数域\(\mathbb{K}\) 上的初等因子组为 \(P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k}\), 其中 \(P_i(\lambda)\)是 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式,\(e_i>0,\,i=1,2,\cdots,k\). 设 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 为相伴于多项式 \(P_i(\lambda)^{e_i}\) 的友阵 (定义见复旦高代教材 250 页复习题 15), 证明 阅读全文

摘要：[问题2014S05] 解答 (本解答由谷嵘同学提供) 首先, 由 \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\) 可得 \(a=0\), 或者由 Cauchy-Binet 公式知 \(|AB|=0\), 从而可得 \(a=0\). 其次, 我们来证明一个一般的结论. 引理 阅读全文