2014 年 3月随笔档案 - torsor

[问题2014S04] 解答

摘要：[问题2014S04] 解答由于

A

$A$ 可对角化, 可设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} \in C^{n}

$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{C}^n$ 是

A

$A$ 的

n

$n$ 个线性无关的特征向量, 即有

A α_{i} = λ_{i} α_{i}, i = 1, 2, \dots, n,

$A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i,\,i=1,2,\cdots,n,$ 其中

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是

A

$A$ 的

n

$n$ 个特征值.构造

2 n

$2n$ 维列向量如下: \[\beta_i=\begin{bmatrix}\alpha_i \\ \alpha_i \end{bmat 阅读全文

posted @ 2014-03-30 16:01 torsor 阅读(1777) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[问题2014S06] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第六教学周）

摘要：[问题2014S06] 试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题：设

V

$V$ 为数域

K

$K$ 上的

n

$n$ 维线性空间,

φ

$\varphi$ 为

V

$V$ 上的线性变换, 且存在非零向量

α \in V

$\alpha\in V$ 使得

V = L (α, φ (α), φ^{2} (α), \dots) .

$V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots).$ 设

f (x)

$f(x)$ 是

φ

$\varphi$ 的特征多项式,并且

f (x)

$f(x)$ 在数域

K

$K$ 上至少有两个互异的首一不可约因式, 证明: 存在非零向量

β, γ \in V

$\beta,\gamma\in V$ 使得 \[ V=L 阅读全文

posted @ 2014-03-30 15:32 torsor 阅读(1095) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S03] 解答

摘要：[问题2014S03] 解答设

A

$A$ 的

n

$n$ 个特征值分别为

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ , 由条件知它们都是不等于零的实数. 根据复旦高代白皮书第 181 页例 6.13 的结论可得 \[ \sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\cdots\lambda_{i_r}=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & 阅读全文

posted @ 2014-03-24 09:14 torsor 阅读(1716) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[问题2014S05] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第五教学周）

摘要：[问题2014S05] 设

A, B

$A,B$ 分别是

4 \times 3

$4\times 3$ 和

3 \times 4

$3\times 4$ 实矩阵, \[ BA=

(\begin{matrix} - 9 & - 20 & - 35 \\ 2 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 8 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}-9 & -20 & -35 \\2 & 5 & 7 \\2 & 4 & 8\end{pmatrix}$ ,\,AB=\begin{pmatrix}9a-14 & 0 & 9a-15 & 18a-32 \\6a+2b-9 & 1 & 6a+3b-9 & 12a+4b-19 \\-2a+2 & 0 & -2a+3 & - 阅读全文

posted @ 2014-03-24 08:36 torsor 阅读(1789) 评论(7) 推荐(0) 编辑

[问题2014S02] 解答

摘要：[问题2014S02] 解答首先注意到: 两个实系数多项式

f (x), g (x)

$f(x),g(x)$ 互素当且仅当

f (x), g (x)

$f(x),g(x)$ 在复数域

C

$\mathbb{C}$ 上没有共公根, 当且仅当结式

R (f (x), g (x)) \neq 0

$R(f(x),g(x))\neq 0$ .我们先证明: 当

t

$t$ 充分大时,

f (x)

$f(x)$ 与

g_{t} (x)

$g_t(x)$ 互素. 事实上,

f (x)

$f(x)$ 在复数域

C

$\mathbb{C}$ 上只有

n

$n$ 个根, 只要取充分大的

t

$t$ , 就能保证这

n

$n$ 个根不是

g_{t} (x)

$g_t(x)$ 的根.考虑结式

R (f (x), g_{t} (x))

$R(f(x),g_t(x))$ , 由定义知它是关于未定元 \ 阅读全文

posted @ 2014-03-20 10:42 torsor 阅读(2084) 评论(5) 推荐(0) 编辑

[问题2014S04] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第四教学周）

摘要：[问题2014S04] 设

A \in M_{n} (C)

$A\in M_n(\mathbb{C})$ 为可对角化的

n

$n$ 阶复方阵,

f (x) \in C [x]

$f(x)\in\mathbb{C}[x]$ 为复系数多项式, 证明:

B = [\begin{matrix} A & f (A) \\ f (A) & A \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix} A & f(A) \\ f(A) & A \end{bmatrix}$ 也可对角化. 阅读全文

posted @ 2014-03-16 17:14 torsor 阅读(1277) 评论(4) 推荐(0) 编辑

[问题2014S01] 解答

摘要：[问题2014S01] 解答因为

f (x_{1}, \dots, x_{n})

$f(x_1,\cdots,x_n)$ 为

2

$2$ 次

n

$n$ 元对称多项式, 故

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = a \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + 2 c \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i} x_{j} + d \sum_{i = 1}^{n} x_{i} + e,

$f(x_1,\cdots,x_n)=a\sum_{i=1}^nx_i^2+2c\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j+d\sum_{i=1}^nx_i+e,$ 其中

a, c, d, e

$a,c,d,e$ 为实数且

a, c

$a,c$ 中至少有一个非零.根据数学分析中的定理, 可微函数达到极值点的必要条件是关于未定元的导数为零, 因此我们得到最值点的集合

S

$S$ 包含在下列线性方程组的解空间中, 其中第

i

$i$ 个方程是\(f(x_1,\cdot 阅读全文

posted @ 2014-03-11 19:06 torsor 阅读(14229) 评论(4) 推荐(0) 编辑

[问题2014S03] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第三教学周）

摘要：[问题2014S03] 设

A \in M_{n} (R)

$A\in M_n(\mathbb R)$ 是非异阵并且

A

$A$ 的

n

$n$ 个特征值都是实数.若

A

$A$ 的所有

n - 1

$n-1$ 阶主子式之和等于零, 证明: 存在

A

$A$ 的一个

n - 2

$n-2$ 阶主子式, 其符号与

| A |

$|A|$ 的符号相反.注上述问题略微推广了13级缪欣晨同学问我的一道考研试题. 阅读全文

posted @ 2014-03-09 15:20 torsor 阅读(1340) 评论(5) 推荐(0) 编辑

[问题2014S02] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第二教学周）

摘要：问题2014S02 设实系数多项式

\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}, \\ g (x) & = & b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0}, \end{array}

$\begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\\ g(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0, \end{eqnarray*}$ 其中

a_{n} b_{m} \neq 0

$a_nb_m\neq 0$ ,

n \geq 1

$n\geq 1$ ,

m \geq 1

$m\geq 1$ . 设

t

$t$ 为实变元,

g_{t} (x) = b_{m} x^{m} + (b_{m - 1} + t) x^{m - 1} + \dots + (b_{1} + t^{m - 1}) x + (b_{0} + t^{m}) .

$g_t(x)=b_mx^m+(b_{m-1}+t)x^{m-1}+\cdots+(b_1+t^{m-1})x+(b_0+t^m).$ 证明: 存阅读全文

posted @ 2014-03-03 10:16 torsor 阅读(1484) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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