摘要：[问题2014S04] 解答 由于 \(A\) 可对角化, 可设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{C}^n\) 是\(A\) 的\(n\) 个线性无关的特征向量, 即有\[A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i,\,i=1,2,\cdots,n,\] 其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是 \(A\) 的 \(n\) 个特征值.构造\(2n\) 维列向量如下: \[\beta_i=\begin{bmatrix}\alpha_i \\ \alpha_i \end{bmat 阅读全文

摘要：[问题2014S06] 试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题：设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots).\]设 \(f(x)\) 是 \(\varphi\) 的特征多项式,并且 \(f(x)\) 在数域 \(K\) 上至少有两个互异的首一不可约因式, 证明: 存在非零向量 \(\beta,\gamma\in V\) 使得 \[ V=L 阅读全文

摘要：[问题2014S03] 解答 设 \(A\) 的 \(n\) 个特征值分别为 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\), 由条件知它们都是不等于零的实数. 根据复旦高代白皮书第 181 页例 6.13 的结论可得 \[ \sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\cdots\lambda_{i_r}=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & 阅读全文

摘要：[问题2014S05] 设 \(A,B\) 分别是 \(4\times 3\) 和 \(3\times 4\) 实矩阵, \[ BA=\begin{pmatrix}-9 & -20 & -35 \\2 & 5 & 7 \\2 & 4 & 8\end{pmatrix},\,AB=\begin{pmatrix}9a-14 & 0 & 9a-15 & 18a-32 \\6a+2b-9 & 1 & 6a+3b-9 & 12a+4b-19 \\-2a+2 & 0 & -2a+3 & - 阅读全文

摘要：[问题2014S02] 解答 首先注意到: 两个实系数多项式 \(f(x),g(x)\) 互素当且仅当 \(f(x),g(x)\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上没有共公根, 当且仅当结式 \(R(f(x),g(x))\neq 0\).我们先证明: 当 \(t\) 充分大时, \(f(x)\)与 \(g_t(x)\) 互素. 事实上, \(f(x)\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上只有 \(n\) 个根, 只要取充分大的 \(t\), 就能保证这\(n\) 个根不是 \(g_t(x)\) 的根.考虑结式\(R(f(x),g_t(x))\), 由定义知它是关于未定元 \ 阅读全文

摘要：[问题2014S04] 设 \(A\in M_n(\mathbb{C})\) 为可对角化的 \(n\) 阶复方阵, \(f(x)\in\mathbb{C}[x]\) 为复系数多项式, 证明: \[B=\begin{bmatrix} A & f(A) \\ f(A) & A \end{bmatrix}\] 也可对角化. 阅读全文

摘要：[问题2014S01] 解答 因为 \(f(x_1,\cdots,x_n)\) 为 \(2\) 次 \(n\) 元对称多项式, 故 \[f(x_1,\cdots,x_n)=a\sum_{i=1}^nx_i^2+2c\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j+d\sum_{i=1}^nx_i+e,\] 其中 \(a,c,d,e\) 为实数且 \(a,c\) 中至少有一个非零.根据数学分析中的定理, 可微函数达到极值点的必要条件是关于未定元的导数为零, 因此我们得到最值点的集合 \(S\) 包含在下列线性方程组的解空间中, 其中第 \(i\) 个方程是\(f(x_1,\cdot 阅读全文

摘要：[问题2014S03] 设 \(A\in M_n(\mathbb R)\) 是非异阵并且\(A\) 的 \(n\) 个特征值都是实数.若\(A\) 的所有\(n-1\) 阶主子式之和等于零, 证明: 存在 \(A\) 的一个 \(n-2\) 阶主子式, 其符号与 \(|A|\) 的符号相反.注 上述问题略微推广了13级缪欣晨同学问我的一道考研试题. 阅读全文

摘要：问题2014S02 设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\\ g(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0, \end{eqnarray*}其中 \(a_nb_m\neq 0\), \(n\geq 1\), \(m\geq 1\). 设 \(t\) 为实变元, \[g_t(x)=b_mx^m+(b_{m-1}+t)x^{m-1}+\cdots+(b_1+t^{m-1})x+(b_0+t^m).\] 证明: 存 阅读全文