复旦高等代数 I（18级）每周一题

[问题2018A01]  计算下列 $n+1$ 阶行列式的值: $$|A|=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ -2 & a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ (-1)^{n-1}n & a_1^n & a_2^n & \cdots & a_n^n \\ \end{vmatrix}.$$

[问题2018A02]  设 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 为 $n$ 个复数, 满足: $$\left\{\begin{array}{l}\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=r,\\ \lambda_1^2+\lambda_2^2+\cdots+\lambda_n^2=r,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ \lambda_1^n+\lambda_2^n+\cdots+\lambda_n^n=r,\\ \lambda_1^{n+1}+\lambda_2^{n+1}+\cdots+\lambda_n^{n+1}=r,\\ \end{array}\right.$$ 其中 $r\in [0,n]$ 为整数. 证明: $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 中有 $r$ 个 $1$, $n-r$ 个 $0$.

提示  用 VanderMonde 行列式和 Cramer 法则来做.

[问题2018A03]  设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵, $b$ 为常数, 方阵 $B=(a_{ij}+b)$, 即 $B$ 的每个元素都是 $A$ 中对应元素加上 $b$.

(1) 证明: $A$ 的所有代数余子式之和等于 $B$ 的所有代数余子式之和;

(2) 进一步假设 $A$ 是偶数阶反对称阵, 证明: $|A|=|B|$.

[问题2018A04]  计算下列 $n$ 阶行列式的值: $$|A|=\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ n-1 & x & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & n-2 & x & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n-3 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \\ \end{vmatrix}.$$

[问题2018A05]  设 $\alpha,\beta$ 为 $n$ 维实列向量且 $\alpha\neq 0$, 试构造 $n$ 阶方阵 $A$, 满足以下两个条件：

(1) $A\alpha=\beta$;

(2) 对任一满足 $\alpha'\gamma=0$ 的 $n$ 维列向量 $\gamma$, 均有 $A\gamma=\gamma$.

[问题2018A06]  试求下列 $n\,(n\geq 2)$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的秩, 其中:

(1) $a_{ij}=\cos(\alpha_i-\beta_j)$ (参考复旦高代教材第二章复习题46)；

(2) $a_{ij}=1+x_iy_j$ (参考复旦高代教材第二章复习题45).

[问题2018A07]  设 $V_1,\cdots,V_m,W$ 都是线性空间 $V$ 的子空间, 满足 $W\subseteq V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_m$. 证明: 存在某个 $1\leq i\leq m$, 使得 $W\subseteq V_i$.

[问题2018A08]  设 $A,B$ 分别为 $m\times n$ 和 $n\times m$ 矩阵, $C$ 为 $n$ 阶非异阵, 满足 $A(C+BA)=0$. 证明: 线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 $(C+BA)\alpha$, 其中 $\alpha$ 为任意的 $n$ 维列向量.

[问题2018A09]  设 $S$ 是线性空间 $V$ 中的向量族, 并且至少包含一个非零向量. 证明: $S$ 存在极大无关组的充要条件是 $S$ 张成的子空间 $L(S)$ 是一个有限维线性空间.

注  本题推广了复旦高代教材的命题 3.5.1.

[问题2018A10]  设 $V,U$ 分别是数域 $K$ 上的 $n,m$ 维线性空间, $\varphi,\psi:V\to U$ 是两个线性映射, 证明: $\mathrm{Im\,}\varphi\subseteq\mathrm{Im\,}\psi$ 的充要条件是存在 $V$ 上的线性变换 $\xi$, 使得 $\varphi=\psi\xi$.

[问题2018A11]  (1) 请利用相抵标准型理论证明: 若 $A$ 为 $n$ 阶幂等阵, 即 $A^2=A$, 则 $\mathrm{tr}(A)=r(A)$. 利用相似标准型理论证明这一结论, 可参考白皮书的例 4.49(2).

(2) 设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi^m=I_V\,(m\geq 2)$, $W=\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$. 证明: 线性变换 $\dfrac{1}{m}\sum\limits_{i=0}^{m-1}\varphi^i$ 的迹等于 $\dim W$.

[问题2018A12]  设循环矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}$, 证明: 伴随阵 $A^*$ 也是循环矩阵.

提示  把 $A$ 相似于对角阵, 然后用 Lagrange 插值公式来做.

[问题2018A13]  设复系数多项式 $f(x),g(x)$ 互素, 证明: $f(x)^2+g(x)^2$ 的重根必为 $f'(x)^2+g'(x)^2$ 的根.

[问题2018A14]  设 $p$ 为奇素数, 证明: 多项式 $f(x)=(p-1)x^{p-2}+(p-2)x^{p-3}+\cdots+2x+1$ 在有理数域上不可约.