复旦大学数学学院高等代数历届期中考试大题精选之三（18级--22级）
本文收集了复旦大学数学学院 18 级到 22 级高等代数期中考试的精选大题, 其中一部分大题由习题课老师或任课老师自编而来, 一部分大题从兄弟院校的高等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编而来, 也有一部分大题已经融入到复旦大学高等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限, 这里我们不公布这些精选大题的解答, 但会根据情况附加一些注解, 以供读者参考.
本科 18 级高代 I 期中考试
二、(12分) 计算下列 $n$ 阶行列式的值:
$$|A|=\begin{vmatrix} \dfrac{1-a_1^nb_1^n}{1-a_1b_1} & \dfrac{1-a_1^nb_2^n}{1-a_1b_2} & \cdots & \dfrac{1-a_1^nb_n^n}{1-a_1b_n}\\ \dfrac{1-a_2^nb_1^n}{1-a_2b_1} & \dfrac{1-a_2^nb_2^n}{1-a_2b_2} & \cdots & \dfrac{1-a_2^nb_n^n}{1-a_2b_n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ \dfrac{1-a_n^nb_1^n}{1-a_nb_1} & \dfrac{1-a_n^nb_2^n}{1-a_nb_2} & \cdots & \dfrac{1-a_n^nb_n^n}{1-a_nb_n}\\ \end{vmatrix}.$$
五、(12分) 设函数 $f(x)=\sum\limits_{i=-k}^ma_ix^i$, 其中 $k,m$ 都是正整数. 设 $n$ 阶非异阵 $A$ 的每行元素之和都等于 $c$, 证明: $f(A)=\sum\limits_{i=-k}^ma_iA^i$ 的每行元素之和都等于 $f(c)$.
六、(10分) 设多项式 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$, $\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\,(0\leq k\leq n-1)$ 为全体 $n$ 次单位根, 循环矩阵 $$A=\left(\begin{array}{ccccc} a_0 & a_1 & \cdots & a_{n - 2} & a_{n - 1} \\ a_{n - 1} & a_0 & \cdots & a_{n - 3} & a_{n - 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_2 & a_3 & \cdots & a_{0} & a_{1}\\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n - 1} & a_{0} \end{array}\right).$$证明: 恰有 $n-r(A)$ 个 $n$ 次单位根是 $f(x)$ 的根 (不计重根数).
七、(10分) 设 $A,B$ 为 $n\,(n\geq 3)$ 阶方阵, 满足 $AB=0$. 证明: $|AB^*+BA^*|=0$.
注 第二大题用 Vander Monde 行列式. 第五大题是白皮书例 2.22 的推广. 第六大题参考博文《循环矩阵的性质及其应用》. 第七大题转化成矩阵秩的问题, 并用秩的不等式进行证明.
本科 18 级高代 II 期中考试
四、(10分) 设 $n$ 阶方阵 $A$ 的所有元素都是整数, $p,q$ 是互素的整数且 $q>1$, 证明: 线性方程组 $Ax=\dfrac{\,p\,}{\,q\,}x$ 只有零解.
五、(10分) 设 $A_1,\cdots,A_n$ 为两两乘法可交换的 2019 阶实方阵, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 元实系数多项式. 令 $B=f(A_1,\cdots,A_n)$, 证明: 存在 $B$ 的某个特征值 $\lambda_0$, 使得方程 $f(x_1,\cdots,x_n)-\lambda_0=0$ 有一组实数解.
六、(10分) 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: $A$ 不可对角化当且仅当存在一元多项式 $f(x)$, 使得 $f(A)$ 非零, $I_n+f(A)$ 可逆, 并且 $(I_n+f(A))^{-1}$ 与 $I_n-f(A)$ 相似.
七、(10分) 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 证明: 存在复数 $c_1,\cdots,c_{n-1}$, 使得 $$A-c_1 e^{A}-c_2 e^{2 A}-\cdots-c_{n-1}e^{(n-1) A}$$是可对角化矩阵.
注 第四大题是白皮书例 6.4 的推广. 第五大题需要用到如下结论"两个乘法可交换的奇数阶实矩阵必有公共的实特征向量", 其证明可参考教学论文 12 的例 3. 第六大题利用 Jordan-Chevalley 分解定理来做. 第七大题利用 Jordan 标准型的应用或 Jordan-Chevalley 分解定理来做.
本科 19 级高代 I 期中考试
五、(10分) 设 $n$ 阶非零复方阵 $A$ 满足 $A^*=\overline{A\,}'$, 求证: $A$ 是非异阵.
六、(10分) 设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶幂零阵, $B$ 为 $n$ 阶方阵, 满足 $AB=BA$ 且 $r(AB)=r(B)$. 求证: $B=0$.
七、(10分) 设 $A$ 为 $m$ 阶实反对称阵, $C$ 为 $n$ 阶实反对称阵, $B$ 为 $m\times n$ 阶实矩阵. 证明: $A+I_m$ 和 $C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B$ 都是非异阵.
注 第五大题是白皮书例 2.21 的复版本. 第六大题利用白皮书的例 3.75 来证明. 第七大题的第 1 小问是白皮书的例 3.78 (利用线性方程组的求解理论), 第 2 小问可通过降阶公式 (构造一个大矩阵) 转化为第 1 小问.
本科 19 级高代 II 期中考试
四、(14分) 设 $n\,(n>2)$ 阶复方阵 $A$ 的秩等于 $2$, 试求 $A$ 的 Jordan 标准型.
五、(10分) 设 $n$ 阶方阵 $A$ 的所有元素都是整数, 其中阶数 $n$ 为偶数, 并且对任意的 $1\leq r\leq n$, $A$ 的所有 $r$ 主子式之和都是奇数. 证明: 不存在整数 $k$, 使得线性方程组 $Ax=kx$ 有非零解.
六、(10分) 设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶实方阵, 若对任意的 $1\leq i\leq n$, 都有 $|a_{ii}|>\sum\limits_{j\neq i}|a_{ij}|$, 则称 $A$ 是严格对角占优阵. 设 $A,B$ 均为主对角元都大于零的 $n$ 阶严格对角占优阵, 且满足 $A^2(A+B)=(A+B)B^2$, 证明: $A=B$.
七、(10分) 设 $a,b$ 都是实数, 其中 $b\neq 0$, 证明: 对任意的正整数 $m$, 存在 $4$ 阶实方阵 $A$, 使得 $$ A^m=\begin{pmatrix} a & b & 2 & 0 \\ -b & a & 2 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & -b & a \\ \end{pmatrix}. $$
注 第四大题先将 $A$ 的 Jordan 标准型 $J$ 写出, 通过计算 $J$ 的秩可得到 5 个分类结果. 第五大题利用白皮书的例 6.15, 再由反证法即得结论. 第六大题先利用戈氏圆盘定理得到 $A,B$ 特征值的实部都大于零, 再利用两次白皮书的例 6.63 即得结论. 第七大题利用广义 Jordan 块 (白皮书第 366 页第 2 行和第 3 行的矩阵) 作为测试矩阵进行讨论.
本科 20 级高代 I 期中考试
四、记数域 $\mathbb{K}$ 上所有 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间为 $M_n(\mathbb{K})$. 对 $A\in M_n(\mathbb{K})$, 考虑 $C(A)=\{B\in M_n(\mathbb{K})\mid AB=BA\}$.
(1) 若 $n=3$, $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$, 求 $C(A)$ 的一组基.
(2) 若 $n=2$, 试确定 $\dim C(A)$ 的所有可能值.
五、设 $n$ 阶复方阵 $A$ 不可逆, 证明: 至多只有两个复数 $\lambda$, 使得 $\lambda I_n+A^*$ 不可逆.
六、设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 证明: $|r(AB)-r(BA)|\leq\dfrac{n}{2}$.
七、设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵, 其中 $A$ 是主对角元全大于零的上三角阵, 并且满足 $AB+BA'=2AA'$. 证明:
(1) $B$ 必为对称阵;
(2) $A$ 为对角阵当且仅当 $B^2=AA'$;
(3) $|B|>0$.
本科 20 级高代 II 期中考试
三、设 $a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{C}$, 证明: 矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ -a_n & a_1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a_2 \\ -a_2 & \cdots & -a_n & a_1 \\ \end{pmatrix}$ 可对角化.
四、设 $n$ 阶方阵 $A$ 的极小多项式为 $\lambda^3-\lambda^2$, 试求 $A$ 可能的互不相似的 Jordan 标准型的总个数.
五、设 $V$ 为线性空间, $\varphi_1,\cdots,\varphi_k$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足: $\varphi_i^2=\varphi_i\,(1\leq i\leq k)$, $\varphi_i\varphi_j=0\,(1\leq i\neq j\leq k)$, 证明: $$V=\bigoplus_{i=1}^k\mathrm{Im\,}\varphi_i\bigoplus\left(\bigcap_{j=1}^k\mathrm{Ker\,}\varphi_j\right).$$
六、设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 的全体特征值都是属于开区间 $(-1,1)$ 的实数, 证明: 矩阵方程 $\sin X=A$ 必有解.
七、设 $A,B$ 为 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵, 满足: $r(A)=n-1$, $AB=BA=0$. 证明: $A+B$ 为非异阵的充要条件是 $A$ 的特征值 0 的代数重数等于 1 且 $B$ 的秩等于 1.
本科 21 级高代 I 期中考试
三、复数 $\alpha=a+b\mathrm{i}\in\mathbb{C}$ 的共轭定义为 $\overline{\alpha}=a-b\mathrm{i}$, 其中 $a,b\in\mathbb{R}$. 令 $$ \mathbb{H}=\left\{\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix}\,\Bigg|\,\alpha,\beta\in\mathbb{C}\right\}. $$ 证明: $\mathbb{H}$ 在矩阵的加法和实数关于矩阵的数乘下成为实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间, 并求 $\mathbb{H}$ 的一组基和维数.
四、求解下列 $n\,(n\geq 2)$ 元齐次线性方程组, 其中 $a$ 为参数: $$ \begin{cases} (1+a)x_{1}+x_{2} + \cdots+x_{n}=0, \\ 2x_{1}+(2+a)x_{2}+\cdots +2x_{n}=0, \\ \hfill\cdots\cdots\cdots\cdots\hfill \\ nx_{1}+nx_{2}+\cdots+(n+a)x_{n}=0. \end{cases} $$
五、设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间, $V_1$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 阶上三角阵全体构成的子空间, $V_2$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 阶反对称阵全体构成的子空间, 求证: $V=V_1\oplus V_2$.
六、设 $A,B$ 均为 $m\times n$ 矩阵, 证明:
(1) 若 $\mathrm{rank}(A)=r$, 则存在 $n$ 阶非异阵 $P$, 使得 $AP$ 的后 $n-r$ 列全为零.
(2) 若存在 $n$ 阶方阵 $S,T$, 使得 $A=BS$ 且 $B=AT$, 则存在非异阵 $Q$, 使得 $B=AQ$.
七、两个 $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ 的 Hadamard 乘积定义为 $A\circ B=(a_{ij}b_{ij})_{m\times n}$. 证明: $$\mathrm{rank}(A\circ B)\leq\mathrm{rank}(A)\cdot\mathrm{rank}(B).$$
本科 22 级高代 I 期中考试
四、求解 $n$ 元线性方程组 $Ax=\beta$, 其中
$$A=\begin{pmatrix} 2a & 1 & \ & \ & \ & \ \\ a^2 & 2a & 1 & \ & \ & \ \\ \ & a^2 & 2a & 1 & \ & \ \\ \ & \ & \ddots & \ddots & \ddots & \ \\ \ & \ & \ & a^2 & 2a & 1\\ \ & \ & \ & \ & a^2 & 2a\\ \end{pmatrix},\quad x=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{pmatrix},\quad \beta=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \end{pmatrix}.$$
五、设 $A,B$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵且 $r(A)=s$, $r(B)=t$, $r\begin{pmatrix} A \\ B \\ \end{pmatrix}=m$.
(1) 求证: 满足 $AX=O$ 的 $n$ 阶方阵 $X$ 的全体组成 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空间, 并求其维数.
(2) 令满足 $AX=O$ 的 $n$ 阶方阵 $X$ 组成的子空间为 $V_1$, 满足 $BX=O$ 的 $n$ 阶方阵 $X$ 组成的子空间为 $V_2$, 试求 $V_1+V_2$ 的维数.
六、设 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}$ 和 $\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}$ 是线性空间 $V$ 的两组基. 证明: 存在 $1,2,\cdots,n$ 的一个全排列 $i_1,i_2,\cdots,i_n$, 使得对任意的 $1\leq j\leq n$, 向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\beta_{i_j},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n\}$ 都是 $V$ 的一组基.
七、本题中的矩阵皆为 $n$ 阶实矩阵.
(1) 设 $A$ 是反对称阵, 求证: $I_n+A$ 是非异阵.
(2) 设矩阵 $M=(m_{ij})$ 仅由 $0$ 和 $1$ 组成, 其主对角元全为 $0$, 且对任意的 $i\neq j$, $m_{ij}=0$ 当且仅当 $m_{ji}=1$, 这样的矩阵称为锦标赛 (tournament) 矩阵. 求证: $r(M)\geq n-1$.
本科 22 级高代 II 期中考试
四、设 $V$ 为实数域上次数小于 $n$ 的多项式全体构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为:
$$\varphi(f(x))=f(x)+\frac{f^{\prime}(x)}{1!}+\frac{f^{(2)}(x)}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!},\quad f(x)\in V.$$
试求 $\varphi$ 的 Jordan 标准型.
五、设 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A$ 的全体特征值为 $\lambda_1=0$, $\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 且 $\lambda_1$ 的一个特征向量为 $e=(1,1,\cdots,1)'$. 证明: 若 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 为其列分块, 则
$$\det(\alpha_1,\cdots,e,\cdots,\alpha_n)=\lambda_2\cdots\lambda_n,$$
其中 $e$ 替换 $A$ 的第 $i$ 列 $\alpha_i\,(1\leq i\leq n)$.
六、设 $A$ 是 $m$ 阶复矩阵, $B$ 是 $n$ 阶复矩阵, $V$ 是 $m\times n$ 复矩阵全体构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=AX-XB$. 证明: $\varphi$ 可对角化的充要条件是 $A,B$ 均可对角化.
七、设有理数域上的 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^3=I_n$, $A\neq I_n$. 证明: 对任意给定的整数 $m$, 存在有理数域上的 $n$ 阶方阵 $B$, 使得 $B$ 相似于 $A$, 且 $B$ 的所有元素之和等于 $m$.
