复旦大学数学学院高等代数历届期中考试大题精选之二（13级--17级）
本文收集了复旦大学数学学院 13 级到 17 级高等代数期中考试的精选大题, 其中一部分大题由习题课老师或任课老师自编而来, 一部分大题从兄弟院校的高等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编而来, 也有一部分大题已经融入到复旦大学高等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限, 这里我们不公布这些精选大题的解答, 但会根据情况附加一些注解, 以供读者参考.
本科 13 级高代 I 期中考试
三、(12分) 证明: 当 $n\geq2$ 时, 下列等式成立:
$$\left(\sum_{i=1}^n a_ic_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_id_i\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_id_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_ic_i\right)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(a_ib_j-a_jb_i)(c_id_j-c_jd_i).$$
四、(12分) 设 $K^n$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维列向量空间, 任取 $K^n$ 中 $p+1$ 个列向量 $\gamma$, $\eta_1,\cdots,\eta_p$, 证明: 存在正整数 $m$ 和 $K$ 上的 $m\times n$ 阶矩阵 $A$ 以及 $m$ 维列向量 $\beta$, 使得线性方程组 $Ax=\beta$ 的所有解都可以表示为 $\gamma+k_1\eta_1+\cdots+k_p\eta_p$, 其中 $k_1,\cdots,k_p\in K$.
五、(10分) 设 $P_{0}(x)\equiv 1$, $P_k(x)=x^k+a_{k,1}x^{k-1}+\cdots+a_{k,k}$ 为 $k$ 次实系数多项式, 其中 $1\leq k\leq n-1$. 对给定的正值函数 $w(x)>0$, 定义函数 $K(x,y)=\sqrt{w(x)w(y)}\sum\limits_{k=0}^{n-1}P_k(x)P_k(y)$. 证明:
(1) $n$ 阶方阵 $(P_{i-1}(x_j))_{n\times n}$ 的行列式等于 $\prod\limits_{1\leq i<j \leq n}(x_j-x_i)$;
(2) 对任意的正值函数 $f(x)>0$, 如下等式成立: $$\det\left(\frac{f(x_i)}{f(x_j)}K(x_i,x_j)\right)_{n\times n}=\prod_{1\leq i<j \leq n}(x_i-x_j)^2\prod_{j=1}^n w(x_j).$$
六、(10分) 设 $A,B$ 是数域 $K$ 上的 $m\times n$ 阶矩阵, 证明:
$$r(A)+r(B)+r(A+B)\geq r(A\,\,B)+r \begin{pmatrix} A \\ B \\ \end{pmatrix},$$
其中 $(A\,\,B)$ 和 $\begin{pmatrix} A \\ B \\ \end{pmatrix}$ 分别是 $A$ 和 $B$ 左右并列和上下并列得到的分块矩阵.
七、(10分) $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 的 $n$ 个子式 $$A\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & k \\ 1 & 2 & \cdots & k \end{pmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix},\,\,k=1,2,\cdots,n,$$ 称为方阵 $A$ 的顺序主子式. 设 $n$ 阶实方阵 $A$ 的顺序主子式都是正的, 并且非主对角线上的元素都是负的, 证明: 逆阵 $A^{-1}$ 的每个元素都是正的.
注 第三大题利用 Cauchy-Binet 公式来做; 第四大题和白皮书例 3.96 有关; 第五大题利用 Vander Monde 行列式来做; 第六大题利用分块矩阵的初等变换来做, 请参考白皮书 $\S$ 3.2.6; 第七大题利用数学归纳法和分块初等变换求逆阵的方法来做.
本科 13 级高代 II 期中考试
四、(10分) 设数域 $\mathbb{K}$ 上的三阶矩阵 $A,B,C,D$ 具有相同的特征多项式, 证明: 其中必有两个矩阵在 $\mathbb{K}$ 上相似.
五、(10分) 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆复方阵, 证明: 存在可逆阵 $B$, 使得 $B^2=A$.
六、(10分) 设 $A$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵, 并且存在 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵 $B$, 使得 $AB-BA=aI_n+A$, 其中 $a\in\mathbb{K}$, 试求 $A$ 的特征多项式.
七、(10分) 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 其极小多项式 $m(\lambda)$ 和特征多项式 $f(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上的不可约因式分解为 $$m(\lambda)=P_1(\lambda)^{e_1}P_2(\lambda)^{e_2}\cdots P_t(\lambda)^{e_t},$$ $$f(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}P_2(\lambda)^{r_2}\cdots P_t(\lambda)^{r_t},$$ 其中 $P_1(\lambda),\cdots,P_t(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式. 证明: 对任意的 $1\leq j \leq t$,
(1) 线性变换 $P_j(\varphi)^{e_j}$ 和 $P_j(\varphi)^{r_j}$ 有相同的核空间;
(2) 记 $W_j$ 为线性变换 $P_j(\varphi)^{e_j}$ 的核空间, 则 $\varphi|_{W_j}$ 的极小多项式为 $P_j(\varphi)^{e_j}$.
注 第五大题是白皮书例 7.44 的特例; 第六大题和白皮书例 6.18 有关, 请参考博文《一道高等代数常见习题的自然延伸》; 第七大题是白皮书例 7.21 的一部分.
本科 14 级高代 I 期中考试
五、(10分) 对矩阵 $A = (a_{ij})_{n\times n}$ 的行列式等价定义展开式中的每一项 $(-1)^{N(k_1,k_2,\dots,k_n)} a_{k_1 1} a_{k_2 2} \cdots a_{k_n n}$, 其中 $(k_1,k_2,\dots,k_n) \in S_n$, 若其取值为正, 称其为正项; 若其取值为负, 称其为负项. 求下面行列式的展开式中有多少项为正项?
$$ \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & \cdots & -1\\ 1 & 1 & -1 & \cdots & -1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & -1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ \end{vmatrix}.$$
六、(10分) 设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2 = A$, 且 $V_1, V_2$ 分别是齐次线性方程组 $Ax=0$ 和 $(I_n-A)x=0$ 在 $\mathbb{K}^n$ 中的解空间, 求证: $\mathbb{K}^n = V_1\oplus V_2$.
七、(10分) 设 $n$ 阶方阵 $A$ 的每行元素之和以及每列元素之和都为 $0$, 求证: $A$ 的各元素的代数余子式 $A_{ij}$ 都相等.
注 第五大题利用行列式的组合定义来做; 第六大题是白皮书例 5.74 的特例; 第七大题已入选白皮书第二章解答题第 14 题.
本科 14 级高代 II 期中考试
三、(14分) 已知 6 阶矩阵 $A$ 的行列式因子 $D_1(\lambda),\cdots,D_6(\lambda)$ 满足 $\lambda^3\mid D_5(\lambda)$, 但 $\lambda^5$ 不能整除 $D_6(\lambda)$, 试求 $A$ 的 Jordan 标准型.
四、(10分) 设 $n$ 阶方阵 $A,B,C,D$ 中 $A,C$ 可逆, 求证: 存在可逆矩阵 $P,Q$, 使得 $$A=PCQ, \qquad B=PDQ$$ 的充分必要条件是 $\lambda A-B$ 与 $\lambda C-D$ 具有相同的不变因子.
五、(10分) 设 6 阶矩阵 $A=\begin{pmatrix} a & -b & 0 & 0 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & -b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a & -b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & a \end{pmatrix}$, 其中 $a,b$ 都是实数且 $b\neq 0$, 试求 $A$ 的 Jordan 标准型.
六、(10分) 设 $a_i\,(i=1,\cdots,n)$ 都是实数且 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$, 证明下列矩阵可对角化:
$$ A=\begin{pmatrix} a_1^2+1 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1\\ a_2a_1+1 & a_2^2+1 & \cdots & a_2a_n+1\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2+1\\ \end{pmatrix}. $$
七、(10分) 设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的所有特征值都是正实数, 证明: 对任一实对称阵 $C$, 存在唯一的实对称阵 $B$, 满足 $A'B+BA=C$.
注 第四大题利用数字矩阵的相似等价于特征矩阵的相抵; 第五大题是实矩阵的广义 Jordan 块, 请参考白皮书 $\S$ 7.2.11; 第六大题中的矩阵是实对称阵, 它可对角化由第九章内积空间中的定理即得, 但本题作为期中试题只能用第六章中可对角化的判定来证明; 第七大题和白皮书例 6.65 有关, 也和白皮书例 9.61 有关.
本科 15 级高代 I 期中考试
六、(10分) 设 $n$ 阶矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_1^2-1 & a_1a_2 & \cdots & a_1a_n \\ a_2a_1 & a_2^2-1 & \cdots & a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_na_1 & a_na_2 & \cdots & a_n^2-1 \\ \end{pmatrix}$, 证明: $r(A)\geq n-1$, 并确定等号成立的充要条件.
七、(10分) 设 $M_2(\mathbb{R})$ 是二阶实矩阵全体构成的实线性空间, $V$ 是 $M_2(\mathbb{R})$ 的子空间, 满足 $V$ 中所有的非零矩阵都是可逆矩阵. 证明: $\dim V\leq 2$, 并举例说明可以找到 $M_2(\mathbb{R})$ 的满足上述性质的二维子空间.
注 第六大题利用矩阵秩的降阶公式; 第七大题的结论可以推广到 $n$ 阶实矩阵的情形, 请参考 15 级高代 I 思考题的第 7 题.
本科 15 级高代 II 期中考试
二、(10分) 设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 满足 $r(A-I_n)+r(A^2+A+I_n)=n$, 证明: $A$ 在复数域上可对角化.
四、(14分) 设矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ b&a+1&0&0 \\ 3&b&2&0 \\ 5&4&a&2 \\ \end{pmatrix}$, 试求 $A$ 的一切可能的 Jordan 标准型, 并给出 $A$ 可对角化的充分必要条件.
五、(10分) 设 $\varphi,\psi$ 为 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi+\psi+\varphi\psi=0$. 问: 是否存在线性空间 $V$ 的一组基, 使得 $\varphi,\psi$ 在这组基下的表示矩阵均为上三角矩阵? 若存在, 请证明; 若不存在, 请举出例子.
六、(10分) 设 $\varphi$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 其极小多项式为 $m(\lambda)$. 设 $\alpha$ 是 $V$ 中非零向量, 由 $\{\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots\}$ 张成的子空间 $C(\varphi,\alpha)$ 称为 $\varphi$ 关于循环向量 $\alpha$ 的循环子空间.
(1) 证明: $m(\lambda)$ 为 $K$ 上的不可约多项式的充分必要条件是 $V$ 的任一非零 $\varphi$-不变子空间 $U$ 必为如下形式: $U=C(\varphi,\alpha_1)\oplus C(\varphi,\alpha_2)\oplus\cdots\oplus C(\varphi,\alpha_k)$, 并且 $\varphi|_{C(\varphi,\alpha_i)}\,(1\leq i\leq k)$ 的极小多项式都是 $m(\lambda)$.
(2) 试构造四维实列向量空间上的线性变换 $\varphi$, 使得其极小多项式是二次不可约实系数多项式, 并验证 $\varphi$ 有无限个不变子空间.
七、(10分) 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 递归地定义矩阵序列 $\{A_k\}_{k=1}^\infty$:
$$A_1=A,\,\,\,\,p_k=-\frac{1}{k}\mathrm{tr}(A_k),\,\,\,\,A_{k+1}=A(A_k+p_kI_n),\,\,k=1,2,\cdots.$$
求证: $A_{n+1}=0$.
注 第二大题与白皮书的例 5.73 和例 7.9 有关; 第五大题与白皮书的例 6.50 有关; 第六大题是教学论文《循环子空间的进一步应用》的定理 1; 第七大题利用数学归纳法以及 Cayley-Hamilton 定理来做.
本科 16 级高代 I 期中考试
四、(10分) 设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶非零实矩阵, 其中 $n\geq 3$ 为奇数. 设 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式, 若对任意的 $1\leq i,j\leq n$, $a_{ij}+A_{ij}=0$ 成立, 试求 $|A|$ 的值.
五、(10分) 设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $n$ 个两两不同的实数, 求证: 在实数域上连续函数全体构成的线性空间 $V$ 中, 向量组 $\{e^{\alpha_1x^2},e^{\alpha_2x^2},\cdots,e^{\alpha_nx^2}\}$ 线性无关.
六、(10分) 设 $n$ 阶方阵 $A$ 为奇异阵且满足 $\mathrm{tr\,}(A^*)=0$, 求证: $(A^*)^2=0$.
七、(10分) 设 $M_n(K)$ 为数域 $K$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间, $W$ 是由 $M_n(K)$ 的子集 $\{AB-BA\mid A,B\in M_n(K)\}$ 张成的子空间, 试求 $W$ 的维数及其一组基.
注 第四大题与白皮书例 2.21 和例 2.26 相关; 第五大题与白皮书第三章解答题第 3 题相关; 第六大题与白皮书例 3.77 和例 2.11 相关; 第七大题与白皮书例 2.40 和基础矩阵的性质 (白皮书第 55 页) 相关, 注意本题不必利用白皮书例 7.54 的结论 (这个结论太强, 并用到了 Jordan 标准型理论).
本科 16 级高代 II 期中考试
四、(10分) 求证: 存在 $n$ 阶实方阵 $A$, 满足 $A^2+2A+5I_n=0$ 的充分必要条件是 $n$ 为偶数.
五、(10分) 设 $n$ 阶复矩阵 $A,B$ 满足 $AB-BA=\mu B$, 其中 $\mu$ 为非零复数. 证明: 若 $A$ 的全体不同特征值只有 $k$ 个, 则 $$\sum_{\lambda\in\mathbb{C}}\Big(n-r(\lambda I_n-A)\Big)\leq n-r(B^k).$$
六、(10分) 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi$ 的极小多项式等于其特征多项式. 设 $U$ 是 $V$ 的任一非零 $\varphi-$不变子空间, 证明: 限制变换 $\varphi|_U$ 的极小多项式也等于其特征多项式.
七、(10分) 设 $V$ 是 $n$ 阶复矩阵构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=AXA'$, 证明: $\varphi$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 可对角化.
注 第四大题是有理标准型的直接应用; 第五大题的推广请参考博文《一道高等代数常见习题的自然延伸》; 第六大题请参考博文《Jordan 块的几何》; 第七大题与白皮书例 6.71 有关.
本科17级高代 I 期中考试
四、(12分) 证明: 对任一 $n$ 阶方阵 $M$, 存在反对称阵 $A$, 迹为零的对称阵 $B$, 常数 $c$, 使得 $M=A+B+cI_n$, 并且 $tr(M^2)=tr(A^2)+tr(B^2)+\dfrac{1}{n}\big(tr(M)\big)^2$.
五、(12分) 设 $a, b, c$ 为实数, 求循环矩阵 $A=\left( \begin{array}{ccc} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{array} \right)$ 的秩.
六、(10分) 设矩阵 $A,B,C,D$ 满足 $r\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}=r(A)$, 证明: 存在矩阵 $M,N$, 使得 $C=MA$, $B=AN$, $D=MAN$.
七、(10分) 设 $n$ 阶实方阵 $A=(a_{ij})$, 其中 $a_{ij}=-a_{ji}\,(\forall\,i\neq j)$ 且 $a_{ii}\geq 0\,(1\leq i\leq n)$, 证明: $|A|\geq 0$.
注 第五大题的一种解法是初等变换+分类讨论, 另一种解法可参考博文《循环矩阵的性质及其应用》; 第六大题利用线性方程组求解的判定定理 (矩阵未定元版本); 第七大题用摄动法.
本科17级高代 II 期中考试
四、(10分) 设 $n$ 阶方阵 $A$ 的每行每列只有一个元素非零, 并且那些非零元素为 $1$ 或 $-1$, 证明: $A$ 的特征值都是单位根.
五、(10分) 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 求证: $A$ 的极小多项式的次数小于等于 $r(A)+1$.
六、(10分) 设 $A, B$ 是两个 $n$ 阶复方阵, 且存在复数 $a, b$ 使得 $AB-BA=aA+bB$, 证明: 存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 都是上三角矩阵.
七、(10分) 设 $A$ 为 $n\,(n\geq 2)$ 阶复方阵, 满足 $|A|=1$. 设 $A$ 与其伴随矩阵 $A^*$ 都适合多项式 $(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\dfrac{1}{\lambda_1})^{m_1}\cdots(\lambda-\lambda_k)(\lambda-\dfrac{1}{\lambda_k})^{m_k}$, 其中 $\lambda_1,\dfrac{1}{\lambda_1},\cdots,\lambda_k,\dfrac{1}{\lambda_k}$ 是两两互异的非零复数, $m_1,\cdots,m_k$ 是正整数. 证明: $A$ 可对角化.
注 满足第四大题条件的所有矩阵构成一个有限集合 $G$ (事实上, $G$ 是一个有限群), 并且 $A^k\,(k\geq 1)$ 都属于 $G$, 因此必有 $A$ 的两个幂次相等, 从而 $A$ 的某个幂次等于 $I_n$; 第五大题既可以用有理标准型来做, 也可以用 Jordan 标准型来做; 第六大题除了 $a=b=0$ 这种情况可以直接利用高代白皮书的例 6.50 来得到结论, 其余情形均可化简到 $a=1,b=0$ 的情形, 然后利用高代白皮书的例 6.18 类似的方法以及归纳法来证明结论. 第八大题利用极小多项式以及 $A,A^*$ 的 Jordan 标准型之间的关系来证明, 或者利用高代白皮书的例 7.14 的结论来证明.
