高代白皮书第三版勘误表

以下列举的勘误不包含中文出版的印刷错误，只包含数学的错误以及叙述或论述中的不当之处等。

高代白皮书第四版已于2022年11月正式出版，下面的勘误以及未列举的一些印刷错误等已经得到了改正。因此，高代白皮书第三版的勘误表将不再更新，敬请读者留意。

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• 第31页, 例1.37, 证明的第3行: 用Laplace定理按第一、第二列展开即得.
• 第45页, 倒数第8行: 3. $\prod\limits_{1\leq i<j\leq 4}(x_iy_j-x_jy_i)$.
• 第61页的例2.19和第392页的例8.26(3)由1989年图灵奖获得者W. Kahan教授在2000年首先给出，请参考他个人网页上的问题解答3: http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/s21nov.pdf.
• 第72页, 例2.38: 第73页从上往下的第2个、第3个和第4个矩阵的右下角元素应为 $\dfrac{s-2}{s}$.
• 第76页, 例2.44, 证明的第2行、第4行和第5行: $BB'$ 全部改为 $B'B$.
• 第81页, 第8行: $f(x)=\dfrac{\cos n\theta\cdot x^{n+1}-\cos(n+1)\theta\cdot x^n-x+\cos\theta}{x^2-2\cos\theta\cdot x+1}$.
• 第108页, 第5行: (7) $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$.
• 第127页, 例3.23, 解的第3行: $(A\oplus B)\oplus C\neq A\oplus (B\oplus C)$.
• 第150页, 例3.68, 证明的第3行: 左边第 1 个矩阵的第 $(1,2)$ 分块应该是 $I_n+A$.
• 第169页, 例3.105, 证明的第二段有漏洞, 现将第二段改为如下论证: 容易验证四个交点中的任意三个点都不共线, 而且经过坐标轴适当的旋转, 可以假设这四个交点的横坐标 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 互不相同. 用反证法证明结论, 设方程组 (3.3) 系数矩阵 $A$ 的秩小于 4. 由任意三个交点不共线以及例 3.101 可知, $(x_1,x_2,x_3,x_4)'$, $(y_1,y_2,y_3,y_4)'$, $(1,1,1,1)'$ 线性无关, 从而它们是 $A$ 的列向量的极大无关组, 于是 $(x_1^2,x_2^2,x_3^2,x_4^2)'$ 是它们的线性组合, 故可设 $x_i^2=rx_i+sy_i+t\,(1\leq i\leq 4)$, 其中 $r,s,t$ 是实数. 由于 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 互不相同, 故 $s\neq 0$, 于是 $y_i=\dfrac{1}{s}x_i^2-\dfrac{r}{s}x_i-\dfrac{t}{s}\,(1\leq i\leq 4)$. 考虑 $A$ 的第一列、第二列、第四列和第六列构成的四阶行列式 $|B|$, 利用 Vander Monde 行列式容易算出 $|B|=-\dfrac{1}{s}\prod\limits_{1\leq i<j\leq 4}(x_i-x_j)\neq 0$, 于是 $A$ 的秩等于 4, 这与假设矛盾. 因此方程组 (3.3) 系数矩阵的秩只能等于 4.
• 第171页, 单选题15的第2行: 用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示.
• 第179页, $\S\S$4.1.2的第5行: 三个 $f_n$ 都改为 $f_m$.
• 第183页, 例4.4, 证明的第5行: $\psi\varphi=Id_V$.
• 第224页, 第10行: 令 $s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k$,...
• 第230页, 例5.13的证明的开始: 不妨设 $f(x),g(x)$ 都是首一多项式,...
• 第264页, 解答题第24题: 计算方程...根的方幂和 $s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k$, 其中 $k\leq n$.
• 第267页, 解答题第24的解答: ...即可证明 $s_k=-(a^k+b^k)$.
• 第280页第4行: $|\lambda I_n-BA|=\cdots$.  
• 第353页, 例7.50, 证明的倒数第2行: $(\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1},\alpha_n+\alpha_0)$ 也是上述方程组的解, 因此矩阵方程有无穷个解.
• 第368页, 第4行: 故 $(P_i(\lambda),P_i'(\lambda))=1$, ......
• 第393页, 倒数第2行: ......$=(A\alpha)'(B\alpha)+(B\alpha)'(A\alpha)=0,$
• 第453页, 倒数第三行: $\beta_3=(-\dfrac{\sqrt{3}}{6},-\dfrac{\sqrt{3}}{6},-\dfrac{\sqrt{3}}{6},\dfrac{\sqrt{3}}{2})'$.
• 第458页, 例9.53证明的4行: 设 $B$ 是 $A$ 的 $k$ 次方根, ...
• 第459页, 最后一行: 又因为 $CBC'$ 为半正定阵, 故......
• 第464页, 例9.67的第3行: 等号成立的充要条件是 $n=1$ 或当 $n\geq 2$ 时, $B=0$.
• 第477页, 例9.88的第2行和第6行: $c_i$ 是零或纯虚数.
• 第492页, 例8.25的证法2改为证法3; 例8.25的证法3改为证法4 (例8.25的证法2在第486页).
• 第499页, 例9.122, 广义逆唯一性的简单证法: 设 $\varphi^\dagger$ 和 $\varphi^\sharp$ 是 $\varphi$ 的两个广义逆, 我们来证明它们必相等即可. 反复利用广义逆的三个性质, 考虑如下计算: $$\varphi^\dagger=\varphi^\dagger\varphi\varphi^\dagger=(\varphi^\dagger\varphi)^*\varphi^\dagger=\varphi^*(\varphi^\dagger)^*\varphi^\dagger=(\varphi\varphi^\sharp\varphi)^*(\varphi^\dagger)^*\varphi^\dagger=\varphi^*(\varphi^\sharp)^*\varphi^*(\varphi^\dagger)^*\varphi^\dagger=(\varphi^\sharp\varphi)^*(\varphi^\dagger\varphi)^*\varphi^\dagger=\varphi^\sharp\varphi\varphi^\dagger\varphi\varphi^\dagger=\varphi^\sharp\varphi\varphi^\dagger;$$ $$\varphi^\sharp=\varphi^\sharp\varphi\varphi^\sharp=\varphi^\sharp(\varphi\varphi^\sharp)^*=\varphi^\sharp(\varphi^\sharp)^*\varphi^*=\varphi^\sharp(\varphi^\sharp)^*(\varphi\varphi^\dagger\varphi)^*=\varphi^\sharp(\varphi^\sharp)^*\varphi^*(\varphi^\dagger)^*\varphi^*=\varphi^\sharp(\varphi\varphi^\sharp)^*(\varphi\varphi^\dagger)^*=\varphi^\sharp\varphi\varphi^\sharp\varphi\varphi^\dagger=\varphi^\sharp\varphi\varphi^\dagger,$$ 由此即得 $\varphi^\sharp=\varphi^\dagger$.
• 第510页, 解答题5: 由定义可得 $\varphi^*(y)=(y,\beta)\alpha$.