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[问题2015S12] 复旦高等代数 II(14级)每周一题(第十三教学周)

[问题2015S12]  设 An 阶实矩阵, 若对任意的非零 n 维实列向量 α, 总有 αAα>0, 则称 A 为亚正定阵. 显然, 如果 A 既是实对称阵, 又是亚正定阵, 那么 A 就是正定阵. 以下设 A,B 都是 n 阶亚正定阵, c 是正实数, 求证:

(1) A 是亚正定阵的充要条件是 A+A 是正定阵;

(2) A 的特征值的实部都大于零, 特别的, |A|>0;

(3) A+B, cA, A, A1, A 都是亚正定阵;

(4) 若 Cn 阶非异实矩阵, 则 CAC 是亚正定阵;

(5) 若 B 是对称阵且 AB 是亚正定阵, 则 B1A1 也是亚正定阵.

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