[问题2014S01] 解答

[问题2014S01] 解答  因为 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 为 $2$ 次 $n$ 元对称多项式, 故 $$f(x_1,\cdots,x_n)=a\sum_{i=1}^nx_i^2+2c\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j+d\sum_{i=1}^nx_i+e,$$ 其中 $a,c,d,e$ 为实数且 $a,c$ 中至少有一个非零.

根据数学分析中的定理, 可微函数达到极值点的必要条件是关于未定元的导数为零, 因此我们得到最值点的集合 $S$ 包含在下列线性方程组的解空间中, 其中第 $i$ 个方程是 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 关于未定元 $x_i$ 的导数: $$\begin{cases} 2ax_1+2cx_2+\cdots+2cx_n=-d, \\ 2cx_1+2ax_2+\cdots+2cx_n=-d, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ 2cx_1+2cx_2+\cdots+2ax_n=-d. \end{cases}$$

上述线性方程组系数矩阵 $A$ 的行列式值为: $$|A|=\begin{vmatrix} 2a & 2c & \cdots & 2c \\ 2c & 2a & \cdots & 2c \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 2c & 2c & \cdots & 2a \end{vmatrix}=2^n\Big(a+(n-1)c\Big)(a-c)^{n-1}.$$

(1) 若 $a=c$, 则 $$f=a\Big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)^2+d\Big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)+e,$$ 此时能取到最值的点有无穷多个, 这与 $S$ 是有限集合矛盾.

(2) 若 $a+(n-1)c=0$, 即 $a=-(n-1)c$, 则 $$f=-c\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2+d\sum_{i=1}^nx_i+e.$$ 若 $d\neq 0$, 当 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ 时, $f$ 的取值可以充分大和充分小, 从而 $f$ 没有最值, 这与 $S$ 是非空集合矛盾; 若 $d=0$, 当 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ 时, $f$ 有最值 $e$, 但这与 $S$ 是有限集合矛盾.

综上 $|A|\neq 0$, 即 $A$ 是非异阵. 容易验证 $$A\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}=2\Big(a+(n-1)c\Big)\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix},\,\,A^{-1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{2\Big(a+(n-1)c\Big)}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}.$$

于是 $S$ 中只有一个点, 其坐标满足: $$\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}-d\\ -d\\ \vdots \\ -d \end{bmatrix}=\frac{-d}{2\Big(a+(n-1)c\Big)}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}.\quad\Box$$

 

通过上述问题的解答, 事实上我们还可以得到进一步的结论.

加强结论  设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是次数等于 2 的 $n$ 元实系数多项式, $S$ 是使得 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 达到最大值或最小值的点的集合. 假设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是关于未定元 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的对称多项式并且 $S$ 为非空集合, 则存在 $b\in\mathbb{R}$ 使得 $(b,b,\cdots,b)\in S.$

我们还可以提出下面更一般的问题 (我不知道答案, 请有兴趣的同学自己探索):

问题  设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是次数等于 $2m$ 的 $n$ 元实系数多项式, $S$ 是使得 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 达到最大值或最小值的点的集合. 假设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是关于未定元 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的对称多项式并且 $S$ 为非空集合, 问: 是否存在 $b\in\mathbb{R}$ 使得 $(b,b,\cdots,b)\in S？$