特征值的两个应用

矩阵和线性变换的特征值是其最本质的特征之一, 也是进一步研究其几何结构 (如可对角化和相似标准型等) 的基石. 关于特征值及其特征向量的几何意义, 一般的高等代数教材 (如 [1]) 或线性代数教材 (如 [4]) 都会详细地阐述, 这里也推荐读者观看 3Blue1Brown 的教学视频 “Essense of Linear Algebra” (网址见 [5]). 本文的主旨是给出矩阵特征值的两个应用, 它们与数学分析中的定积分以及域论中的分圆多项式密切相关, 这也说明了特征值应用的广泛性.

在给出第一个应用之前, 我们先引用一个关于三对角矩阵的常见结论.

引理 1  设 $A$ 为 $n$ 阶三对角矩阵, 其中 $bc\neq 0$:

$$A=\begin{pmatrix} a & b & & & & \\ c & a & b & & & \\ & c & a & b & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & c & a & b \\ & & & & c & a \\ \end{pmatrix}.$$

(1) 设 $\alpha,\beta$ 是方程 $x^2-ax+bc=0$ 的两个根, 则 $|A|=\alpha^n+\alpha^{n-1}\beta+\cdots+\alpha\beta^{n-1}+\beta^n$.

(2) $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_k=a+2\sqrt{bc}\cos\dfrac{k\pi}{n+1}\,(1\leq k\leq n)$.

证明  (1) 即为高代白皮书例 1.14, (2) 即为高代白皮书例 6.65.  $\Box$

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例 1  计算定积分 $\int_0^\pi \ln(2+\cos x)\mathrm{d}x.$

解  设 $n$ 阶三对角矩阵

$$A_n=\begin{pmatrix} 2 & \dfrac{1}{2} & & & \\ \dfrac{1}{2} & 2 & \dfrac{1}{2} & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \dfrac{1}{2} & 2 & \dfrac{1}{2} \\ & & &  \dfrac{1}{2} & 2 \\ \end{pmatrix},$$

则方程 $x^2-2x+\dfrac{1}{4}=0$ 的两根为 $1\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, 于是由引理 1 (1) 可得

$$|A_n|=\frac{1}{\sqrt{3}}\left((1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{n+1}-(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{n+1}\right).$$

再由引理 1 (2) 可知 $A_n$ 的特征值为 $\lambda_k=2+\cos\dfrac{k\pi}{n+1}\,(1\leq k\leq n)$, 于是由特征值的性质可得

$$\prod_{k=1}^n(2+\cos\dfrac{k\pi}{n+1})=|A_n|=\frac{1}{\sqrt{3}}\left((1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{n+1}-(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{n+1}\right).$$

因此, 由定积分的性质以及上述等式可得

$$\int_0^\pi \ln(2+\cos x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\ln(2+\cos\dfrac{k\pi}{n})=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}(\ln 3+\ln|A_{n-1}|)$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}(\frac{1}{2}\ln 3+\ln(1+\frac{\sqrt{3}}{2})n)=\ln(1+\frac{\sqrt{3}}{2})\pi.\,\,\Box$$

在给出第二个应用之前, 我们先阐述本原单位根以及分圆多项式的定义及其相关结论.

定义 2  方程 $x^n-1=0$ 的 $n$ 个根 $\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+\mathrm{i}\sin\dfrac{2k\pi}{n}\,(1\leq k\leq n)$ 称为 $n$ 次单位根. 注意到若单位根 $\omega_k$ 满足 $(k,n)=1$, 则它的 $n$ 个幂次 $\{\omega_k^i,\,1\leq i\leq n\}$ 互不相同, 从而必为 $n$ 次单位根全体. 因此, 满足 $(k,n)=1$ 的单位根 $\omega_k$ 称为 $n$ 次本原单位根. 设

$$\varphi_n(x)=\prod_{\stackrel{(k,n)=1}{1\leq k\leq n}}(x-\omega_k)$$

是以全体 $n$ 次本原单位根为根的首一多项式, 称为 $n$ 阶分圆多项式.

任取一个 $n$ 次单位根 $\omega$, 设 $\mathrm{o}(\omega)=\min\{r\in\mathbb{Z}^+\mid\omega^r=1\}$, 则容易验证 $\mathrm{o}(\omega)\mid n$, 并称 $\mathrm{o}(\omega)$ 为 $\omega$ 的周期. 对任一 $n$ 次单位根 $\omega$, 容易验证 $\omega$ 的周期等于 $d$ 当且仅当 $\omega$ 是 $d$ 次本原单位根. 由此可得如下等式:

$$x^n-1=\prod_{\stackrel{d\mid n}{1\leq d\leq n\,}}\varphi_d(x). \qquad(*)$$

由上述等式, 可以归纳地计算出 $\varphi_n(x)$ 来, 例如:

$$\varphi_1(x)=x-1,\,\,\varphi_2(x)=x+1,\,\,\varphi_3(x)=x^2+x+1,\,\,\varphi_4(x)=x^2+1,$$

$$\varphi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\,\,\varphi_6(x)=x^2-x+1,\,\,\cdots.$$

我们可用数学归纳法证明: $\varphi_n(x)$ 是一个整系数首一多项式. 当 $n=1$ 时, 结论显然成立. 设对任意的 $d<n$, $\varphi_d(x)$ 都是整系数首一多项式, 则

$$g(x)=\prod_{\stackrel{d\mid n}{1\leq d<n\,}}\varphi_d(x)$$

也是整系数首一多项式, 从而在 $\mathbb{Z}[x]$ 中, 可以作 $x^n-1$ 关于 $g(x)$ 的带余除法. 于是存在整系数多项式 $q(x),r(x)$, 使得 $x^n-1=g(x)q(x)+r(x)$, 其中 $\deg r(x)<\deg g(x)$. 这也是在 $\mathbb{C}[x]$ 中 $x^n-1$ 关于 $g(x)$ 的带余除法, 但同时 $x^n-1=g(x)\varphi_n(x)$, 故由带余除法的唯一性可得 $\varphi_n(x)=q(x)$ 是整系数首一多项式, 且 $r(x)=0$.

定理 3  $n$ 阶分圆多项式 $\varphi_n(x)$ 是有理数域上的不可约多项式.

证明  参考 [3] 第四章的定理 9-2.  $\Box$

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例 2  设 $n\geq 2$, 试求所有有理数域上的方阵 $A$, 使得 $A^n=I$.

解  设 $A$ 的极小多项式为 $m(x)$. 任取 $A$ 的一个特征值 $\lambda_0$, 则 $\lambda_0$ 也是 $m(x)$ 的根. 由 $A^n=I$ 可知 $\lambda_0^n=1$, 即 $\lambda_0$ 是 $n$ 次单位根. 若设 $\lambda_0$ 是 $d$ 次本原单位根, 则 $\lambda_0$ 是 $d$ 阶分圆多项式 $\varphi_d(x)$ 的根. 由定理 3 可知, $\varphi_d(x)$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的首一不可约多项式, 从而是 $\lambda_0$ 的极小多项式, 再由代数数极小多项式的基本性质可知 $\varphi_d(x)\mid m(x)$. 另一方面, 由矩阵极小多项式的基本性质可知 $m(x)\mid x^n-1$, 再由 $(*)$ 式可得

$$m(x)=\varphi_{d_1}(x)\varphi_{d_2}(x)\cdots\varphi_{d_r}(x),$$

其中 $d_i$ 两两互异, $1\leq d_i\leq n$ 且 $d_i\mid n\,(1\leq i\leq r)$. 由此可知 $A$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的初等因子组为 $\varphi_{d_1}(x)$, $\varphi_{d_2}(x)$, $\cdots$, $\varphi_{d_s}(x)$, 其中 $1\leq d_i\leq n$ 且 $d_i\mid n\,(1\leq i\leq s)$, 但 $d_1,d_2,\cdots,d_s$ 中允许相同的数出现. 由高代白皮书例 7.19 (基于初等因子组的有理标准型) 可知存在 $\mathbb{Q}$ 上的非异阵 $P$, 使得

$$A=P^{-1}\mathrm{diag}\{C(\varphi_{d_1}(x)),C(\varphi_{d_2}(x)),\cdots,C(\varphi_{d_s}(x))\}P, \qquad(\dagger)$$

其中 $C(\varphi_{d_i}(x))$ 表示多项式 $\varphi_{d_i}(x)$ 的友阵.  $\Box$

注  例 2 中还可以进一步要求 $A^d\neq I\,(\forall\,1\leq d<n,\,d\mid n)$ 以及 $A$ 的阶数达到最小等条件成立, 但这不难由 $(\dagger)$ 式进行限制得到. 一个常见的非平凡的例子是 $A=P^{-1}C(\varphi_n(x))P$, 这是一个满足 $A^n=I$ 的有理数矩阵, 其阶数等于 $\deg\varphi_n(x)$, 即欧拉函数 $\varphi(n)$. 

 

参考文献

[1] 高代教材: 谢启鸿, 姚慕生, 吴泉水. 高等代数学 (第四版). 复旦大学出版社, 2022 年.

[2] 高代白皮书: 谢启鸿, 姚慕生. 学习方法指导书, 高等代数 (第四版). 复旦大学出版社, 2022 年.

[3] 姚慕生. 抽象代数学 (第二版). 复旦大学出版社, 2005 年.

[4] Gilbert, Strang. Introduction to Linear Algebra, Sixth Edition. 清华大学出版社, 2024 年.

[5] 3Blue1Brown. Essense of Linear Algebra. https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E/. 中译版: https://www.bilibili.com/video/BV1ib411t7YR/.