特征值的两个应用

矩阵和线性变换的特征值是其最本质的特征之一, 也是进一步研究其几何结构 (如可对角化和相似标准型等) 的基石. 关于特征值及其特征向量的几何意义, 一般的高等代数教材 (如 [1]) 或线性代数教材 (如 [4]) 都会详细地阐述, 这里也推荐读者观看 3Blue1Brown 的教学视频 “Essense of Linear Algebra” (网址见 [5]). 本文的主旨是给出矩阵特征值的两个应用, 它们与数学分析中的定积分以及域论中的分圆多项式密切相关, 这也说明了特征值应用的广泛性.

在给出第一个应用之前, 我们先引用一个关于三对角矩阵的常见结论.

引理 1 设 $A$ 为 $n$ 阶三对角矩阵, 其中 $bc\neq 0$ :

$A=\begin{pmatrix} a & b & & & & \\ c & a & b & & & \\ & c & a & b & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & c & a & b \\ & & & & c & a \\ \end{pmatrix}.$

(1) 设 $\alpha,\beta$ 是方程 $x^2-ax+bc=0$ 的两个根, 则 $|A|=\alpha^n+\alpha^{n-1}\beta+\cdots+\alpha\beta^{n-1}+\beta^n$ .

(2) $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_k=a+2\sqrt{bc}\cos\dfrac{k\pi}{n+1}\,(1\leq k\leq n)$ .

证明 (1) 即为高代白皮书例 1.14, (2) 即为高代白皮书例 6.65. $\Box$

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例 1 计算定积分 $\int_0^\pi \ln(2+\cos x)\mathrm{d}x.$

解设 $n$ 阶三对角矩阵

$A_n=\begin{pmatrix} 2 & \dfrac{1}{2} & & & \\ \dfrac{1}{2} & 2 & \dfrac{1}{2} & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \dfrac{1}{2} & 2 & \dfrac{1}{2} \\ & & & \dfrac{1}{2} & 2 \\ \end{pmatrix},$

则方程 $x^2-2x+\dfrac{1}{4}=0$ 的两根为 $1\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , 于是由引理 1 (1) 可得

$|A_n|=\frac{1}{\sqrt{3}}\left((1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{n+1}-(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{n+1}\right).$

再由引理 1 (2) 可知 $A_n$ 的特征值为 $\lambda_k=2+\cos\dfrac{k\pi}{n+1}\,(1\leq k\leq n)$ , 于是由特征值的性质可得

$\prod_{k=1}^n(2+\cos\dfrac{k\pi}{n+1})=|A_n|=\frac{1}{\sqrt{3}}\left((1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{n+1}-(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{n+1}\right).$

因此, 由定积分的性质以及上述等式可得

$\int_0^\pi \ln(2+\cos x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\ln(2+\cos\dfrac{k\pi}{n})=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}(\ln 3+\ln|A_{n-1}|)$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}(\frac{1}{2}\ln 3+\ln(1+\frac{\sqrt{3}}{2})n)=\ln(1+\frac{\sqrt{3}}{2})\pi.\,\,\Box$

在给出第二个应用之前, 我们先阐述本原单位根以及分圆多项式的定义及其相关结论.

定义 2 方程 $x^n-1=0$ 的 $n$ 个根 $\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+\mathrm{i}\sin\dfrac{2k\pi}{n}\,(1\leq k\leq n)$ 称为 $n$ 次单位根. 注意到若单位根 $\omega_k$ 满足 $(k,n)=1$ , 则它的 $n$ 个幂次 $\{\omega_k^i,\,1\leq i\leq n\}$ 互不相同, 从而必为 $n$ 次单位根全体. 因此, 满足 $(k,n)=1$ 的单位根 $\omega_k$ 称为 $n$ 次本原单位根. 设

$\varphi_n(x)=\prod_{\stackrel{(k,n)=1}{1\leq k\leq n}}(x-\omega_k)$

是以全体 $n$ 次本原单位根为根的首一多项式, 称为 $n$ 阶分圆多项式.

任取一个 $n$ 次单位根 $\omega$ , 设 $\mathrm{o}(\omega)=\min\{r\in\mathbb{Z}^+\mid\omega^r=1\}$ , 则容易验证 $\mathrm{o}(\omega)\mid n$ , 并称 $\mathrm{o}(\omega)$ 为 $\omega$ 的周期. 对任一 $n$ 次单位根 $\omega$ , 容易验证 $\omega$ 的周期等于 $d$ 当且仅当 $\omega$ 是 $d$ 次本原单位根. 由此可得如下等式:

$x^n-1=\prod_{\stackrel{d\mid n}{1\leq d\leq n\,}}\varphi_d(x). \qquad(*)$

由上述等式, 可以归纳地计算出 $\varphi_n(x)$ 来, 例如:

$\varphi_1(x)=x-1,\,\,\varphi_2(x)=x+1,\,\,\varphi_3(x)=x^2+x+1,\,\,\varphi_4(x)=x^2+1,$

$\varphi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\,\,\varphi_6(x)=x^2-x+1,\,\,\cdots.$

我们可用数学归纳法证明: $\varphi_n(x)$ 是一个整系数首一多项式. 当 $n=1$ 时, 结论显然成立. 设对任意的 $d<n$ , $\varphi_d(x)$ 都是整系数首一多项式, 则

$g(x)=\prod_{\stackrel{d\mid n}{1\leq d<n\,}}\varphi_d(x)$

也是整系数首一多项式, 从而在 $\mathbb{Z}[x]$ 中, 可以作 $x^n-1$ 关于 $g(x)$ 的带余除法. 于是存在整系数多项式 $q(x),r(x)$ , 使得 $x^n-1=g(x)q(x)+r(x)$ , 其中 $\deg r(x)<\deg g(x)$ . 这也是在 $\mathbb{C}[x]$ 中 $x^n-1$ 关于 $g(x)$ 的带余除法, 但同时 $x^n-1=g(x)\varphi_n(x)$ , 故由带余除法的唯一性可得 $\varphi_n(x)=q(x)$ 是整系数首一多项式, 且 $r(x)=0$ .

定理 3 $n$ 阶分圆多项式 $\varphi_n(x)$ 是有理数域上的不可约多项式.

证明参考 [3] 第四章的定理 9-2. $\Box$

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例 2 设 $n\geq 2$ , 试求所有有理数域上的方阵 $A$ , 使得 $A^n=I$ .

解设 $A$ 的极小多项式为 $m(x)$ . 任取 $A$ 的一个特征值 $\lambda_0$ , 则 $\lambda_0$ 也是 $m(x)$ 的根. 由 $A^n=I$ 可知 $\lambda_0^n=1$ , 即 $\lambda_0$ 是 $n$ 次单位根. 若设 $\lambda_0$ 是 $d$ 次本原单位根, 则 $\lambda_0$ 是 $d$ 阶分圆多项式 $\varphi_d(x)$ 的根. 由定理 3 可知, $\varphi_d(x)$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的首一不可约多项式, 从而是 $\lambda_0$ 的极小多项式, 再由代数数极小多项式的基本性质可知 $\varphi_d(x)\mid m(x)$ . 另一方面, 由矩阵极小多项式的基本性质可知 $m(x)\mid x^n-1$ , 再由 $(*)$ 式可得

$m(x)=\varphi_{d_1}(x)\varphi_{d_2}(x)\cdots\varphi_{d_r}(x),$

其中 $d_i$ 两两互异, $1\leq d_i\leq n$ 且 $d_i\mid n\,(1\leq i\leq r)$ . 由此可知 $A$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的初等因子组为 $\varphi_{d_1}(x)$ , $\varphi_{d_2}(x)$ , $\cdots$ , $\varphi_{d_s}(x)$ , 其中 $1\leq d_i\leq n$ 且 $d_i\mid n\,(1\leq i\leq s)$ , 但 $d_1,d_2,\cdots,d_s$ 中允许相同的数出现. 由高代白皮书例 7.19 (基于初等因子组的有理标准型) 可知存在 $\mathbb{Q}$ 上的非异阵 $P$ , 使得

$A=P^{-1}\mathrm{diag}\{C(\varphi_{d_1}(x)),C(\varphi_{d_2}(x)),\cdots,C(\varphi_{d_s}(x))\}P, \qquad(\dagger)$

其中 $C(\varphi_{d_i}(x))$ 表示多项式 $\varphi_{d_i}(x)$ 的友阵. $\Box$

注例 2 中还可以进一步要求 $A^d\neq I\,(\forall\,1\leq d<n,\,d\mid n)$ 以及 $A$ 的阶数达到最小等条件成立, 但这不难由 $(\dagger)$ 式进行限制得到. 一个常见的非平凡的例子是 $A=P^{-1}C(\varphi_n(x))P$ , 这是一个满足 $A^n=I$ 的有理数矩阵, 其阶数等于 $\deg\varphi_n(x)$ , 即欧拉函数 $\varphi(n)$ .