复旦大学2024--2025学年第一学期（24级）高等代数I期末考试第七大题解答

七、(10分) 设

V

$V$ 是数域

K

$\mathbb{K}$ 上的

n

$n$ 维线性空间,

φ, ψ

$\varphi,\psi$ 是

V

$V$ 上的幂等线性变换, 满足

φ ψ = ψ

$\varphi\psi=\psi$ 且

K e r φ

$\mathrm{Ker}\varphi$ 是

ψ

$\psi$ -不变子空间. 证明:

(1) $\mathrm{r}(\psi)\leq\mathrm{r}(\varphi)$ ;

(2) 若 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$ , 则 $\psi=\varphi$ .

评注本题是一道中等难度的证明题, 下面将给出若干种不同的证明, 它们串联起了像空间、核空间以及幂等变换的诸多重要性质. 最后, 我们还将给出本题的两个推广.

(1) 我们给出两种不同的证法.

证法一 任取 $\alpha\in V$ , 有 $\psi(\alpha)=\varphi\psi(\alpha)\in\mathrm{Im}\varphi$ , 故 $\mathrm{Im}\psi\subseteq\mathrm{Im}\varphi$ , 取维数后即得 $\mathrm{r}(\psi)\leq\mathrm{r}(\varphi)$ .

证法二 任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi$ , 由 $\mathrm{Ker}\varphi$ 是 $\psi$ -不变子空间可得 $\psi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi$ , 于是 $\psi(\alpha)=\varphi(\psi(\alpha))=0$ , 即有 $\alpha\in\mathrm{Ker}\psi$ . 因此 $\mathrm{Ker}\varphi\subseteq\mathrm{Ker}\psi$ , 取维数可得 $n-\mathrm{r}(\varphi)\leq n-\mathrm{r}(\psi)$ , 于是 $\mathrm{r}(\psi)\leq\mathrm{r}(\varphi)$ .

(2) 我们给出四种不同的证法 (注意代数与几何之间的转化只算一种证法).

证法一 由 (1) 以及 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$ 可得 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$ . 注意到 $\psi$ 是幂等变换, 故由高代白皮书例 4.54 可知 $V=\mathrm{Im}\psi\oplus\mathrm{Ker}\psi$ . 任取 $\psi(\alpha)\in\mathrm{Im}\psi$ , 则 $\varphi(\psi(\alpha))=\psi(\alpha)=\psi(\psi(\alpha))$ , 即 $\psi,\varphi$ 在 $\mathrm{Im}\psi$ 上相等; 任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$ , 则 $\varphi(\alpha)=0=\psi(\alpha)$ , 即 $\psi,\varphi$ 在 $\mathrm{Ker}\psi$ 上相等. 因此 $\varphi,\psi$ 在两个直和分量 $\mathrm{Im}\psi,\mathrm{Ker}\psi$ 上分别相等, 由高代白皮书例 4.2 即得 $\varphi=\psi$ .

证法二 由 (1) 以及 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$ 可得 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$ . 注意到 $\psi$ 是幂等变换, 故由高代白皮书例 4.54 可知, 存在 $V$ 的一组基 $\{e_1,\cdots,e_r,e_{r+1},\cdots,e_n\}$ , 使得 $\psi$ 在这组基下的表示阵为 $\mathrm{diag}\{I_r,O\}$ , 即有 $\psi(e_i)=e_i\,(1\leq i\leq r)$ , $\psi(e_j)=0\,(r+1\leq j\leq n)$ , 于是 $e_j\in\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$ , 从而 $\varphi(e_j)=0\,(r+1\leq j\leq n)$ . 因此, $\varphi(e_i)=\varphi(\psi(e_i))=\psi(e_i)\,(1\leq i\leq r)$ , $\varphi(e_j)=\psi(e_j)=0\,(r+1\leq j\leq n)$ , 由线性扩张定理 (高代白皮书例 4.1) 即得 $\varphi=\psi$ .

证法三 由 (1) 以及 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$ 可得 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$ . 任取 $\alpha\in V$ , 则由 $\psi$ 是幂等变换可知 $\psi(I_V-\psi)(\alpha)=0$ , 于是 $(I_V-\psi)(\alpha)\in\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$ , 从而 $\varphi(I_V-\psi)(\alpha)=0$ , 即有 $\varphi(\alpha)=\varphi\psi(\alpha)=\psi(\alpha)$ , 因此 $\varphi=\psi$ .

证法四 由 (1) 以及 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$ 可得 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$ . 由高代白皮书例 4.27 可知, 存在 $V$ 上的自同构 $\xi$ , 使得 $\varphi=\xi\psi$ , 于是 $\psi=\varphi\psi=\xi\psi^2=\xi\psi=\varphi$ . $\Box$

注意到在 (2) 的四种证法中, 并没有用到“ $\varphi$ 是幂等变换”这个条件. 因此, 可以得到原题的第一个推广:

推广 1 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\psi^2=\psi$ , $\varphi\psi=\psi$ 且 $\mathrm{Ker}\varphi$ 是 $\psi$ -不变子空间. 证明: