复旦大学2024--2025学年第一学期（24级）高等代数I期末考试第八大题解答

八、(10分)  设 $A,B$ 为 $n$ 阶实矩阵, 满足 $A^2+B^2=AB$ 且 $AB-BA$ 为非异阵, 求证: $n$ 是 3 的倍数且 $|BA-AB|>0$.

证明  设 $\omega=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$, 则 $\omega^2=\overline{\omega}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$, 于是 $\overline{A+\omega B}=A+\overline{\omega}B=A+\omega^2B$.

一方面, 由求共轭和求行列式可交换次序可得

$$|A+\omega B|\cdot|A+\omega^2B|=|A+\omega B|\cdot\left|\overline{A+\omega B}\right|=|A+\omega B|\cdot\overline{|A+\omega B|}\geq 0.$$

另一方面, 由 $A^2+B^2=AB$ 经计算可得

$$|A+\omega B|\cdot|A+\omega^2B|=|(A+\omega B)(A+\omega^2B)|=|A^2+B^2+\omega BA+\omega^2 AB|$$

$$=|\omega BA+(1+\omega^2)AB|=|\omega(BA-AB)|=\omega^n|BA-AB|.$$

由上述两式相等以及 $AB-BA$ 为非异阵可知 $\omega^n|BA-AB|>0$. 又 $|BA-AB|\in\mathbb{R}$, 故 $\omega^n\in\mathbb{R}$, 于是 $3\mid n$, 因此 $\omega^n=1$ 且 $|BA-AB|>0$.  $\Box$

注  本题与 2016 级高代 I 每周一题 [问题2016A07] 非常类似, 请读者参考《高等代数习题集》上的解答.